I单元 统计
I1 随机抽样
3．I1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
3．C [解析] 因为总体中所要调查的因素受学段影响较大，而受性别影响不大，故按学段分层抽样．
2．I1[2013·湖南卷] 某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
2．D [解析] 根据抽样方法的特点可知，应选用分层抽样法．
4．I1[2013·江西卷] 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B．07
C.02 D．01
4．D [解析] 选出来的5个个体编号依次为：08，02，14，07，01.故选D.
16．I1，K1，K2，K6[2013·北京卷] 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
图1－6
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
16．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．
根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝(i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.
所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且
P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)
＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
4．I1[2013·陕西卷] 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
4．B [解析] 由系统抽样定义可知，所分组距为＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481，720]的数目为(720－480)÷20＝12.
I2 用样本估计总体
4．I2[2013·福建卷] 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图1－1所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )
图1－1
A．588 B．480 C．450 D．120
4．B [解析] 成绩在[40，60)的频率P1＝(0.005＋0.015)×10＝0.2，成绩不少于60分的频率P2＝1－0.2＝0.8，所以成绩不少于60分的学生人数约为600×0.8＝480人，故选B.
11．I2[2013·湖北卷] 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图1－3所示．
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．
图1－3
11．(1)0.004 4 (2)70 [解析] (1)(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x＋0.006 0)×50＝1x＝0.004 4.
(2)[1－(0.001 2＋0.002 4×2)×50]×100＝70.
5．I2[2013·辽宁卷] 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
图1－1
A．45 B．50 C．55 D．60
5．B [解析] 由成绩的频率分布直方图可以得到低于60分的频率为0.3，而低于60分的人数为15，所以该班的学生人数为＝50.
19．B1，I2，K6[2013·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．
图1－4
19．解：(1)当X∈[100，130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.
当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57 000元，当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
4．I2[2013·重庆卷] 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．
图1－1
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
4．C [解析] 因为甲组数据的中位数为15，由茎叶图可得x＝5.因乙组数据的平均数为16.8，则＝16.8，解得y＝8，故选C.
I3 正态分布
20．I3，E5[2013·湖北卷] 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P0.
(1)求P0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ4，故P(X>4)＝，又正态密度曲线是对称的，所以μ＝4，选择B.
[规律解读] 正态分布的计算中要注意应用正态密度曲线的对称性
5．[2013·玉溪一中月考(五)] 设随机变量X服从正态分布N(3，4)，若P(X<2a－3)＝P(X>a＋2)，则a的值为( )
A．5 B．3
C. D.
5．D [解析] 因为X服从正态分布N(3，4)，所以随机变量X关于直线x＝3对称，因为P(X<2a－3)＝P(X>a＋2)，所以x1＝2a－3，x2＝a＋2关于x＝3对称，所以＝3，即3a＝7，解得a＝，选D.
6．[2013·湖南师大附中月考(六)] 如果一个随机变量X～B，则使得P(X＝k)取得最大值的k的值为________．
6．7，8 [解析] 由题知P(X＝k)＝C，则只需C最大即可，此时k＝7，8.
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