高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(十五) 导数的应用(一)
1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R
2．(2012·“江南十校”联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
3．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
4．(2012·大纲全国卷)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝( )
A．－2或2 B．－9或3
C．－1或1 D．－3或1
5．若f(x)＝，ef(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
6．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )
A．20 B．18
C．3 D．0
7．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．
8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．
9．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．
10．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．
11．(2012·重庆高考)设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
12．(2012·郑州质量预测)已知函数f(x)＝＋ln x.
(1)当a＝时，求f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－x在[1，e]上为增函数，求正实数a的取值范围．
1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是( )
2．(2012·沈阳实验中学检测)已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)F(2x－1)的实数x的取值范围是( )
A．(－1,2) B.
C. D．(－2,1)
3．(2012·北京东城区综合练习)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋2同时满足以下条件：
①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
②f′(x)是偶函数；
③f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝·ex，求函数g(x)在[m，m＋1]上的最小值．
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5._________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(十五)
A级
1．A 2.C 3.D 4.A
5．选A f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)．
6．选A 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.
7．解析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)>0.所以m>6或m<－3.
答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)
8．解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
所以对m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
答案：－4
9．解析：∵y′＝3x2＋6ax＋3b，
?
∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2.
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.
答案：4
10．解：(1)∵f′(x)＝2ax＋.
又f(x)在x＝1处有极值.
∴即
解得a＝，b＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定义域是(0，＋∞)，
且f′(x)＝x－＝.
由f′(x)<0，得00，得x>1.
所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，
单调增区间是(1，＋∞)．
11．解：(1)因f(x)＝aln x＋＋x＋1，
故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－义域内，舍去．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
12．解：(1)当a＝时，
f(x)＝＋ln x，
f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝2，
∴当x∈[1,2)时，f′(x)<0，故f(x)在[1,2)上单调递减；
当x∈(2，e]时，f′(x)>0，故f(x)在(2，e]上单调递增，
故f(x)min＝f(2)＝ln 2－1.
又∵f(1)＝0，f(e)＝<0.
∴f(x)在区间[1，e]上的最大值f(x)max＝f(1)＝0.
综上可知，函数f(x)在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln 2－1.
(2)∵g(x)＝f(x)－x＝＋ln x－x，
∴g′(x)＝(a>0)，
设φ(x)＝－ax2＋4ax－4，由题意知，只需φ(x)≥0在[1，e]上恒成立即可满足题意．
∵a>0，函数φ(x)的图象的对称轴为x＝2，
∴只需φ(1)＝3a－4≥0，即a≥即可．故正实数a的取值范围为.
B级
1．选D 因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(1)＋f′(1)＝0；选项D中，f(1)>0，f′(1)>0，不满足f′(1)＋f(1)＝0.
2．选A 由F(x)＝xf(x)，得F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)－f(－x)<0，所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，又可证F(x)为偶函数，从而F(x)在[0，＋∞)上单调递增，故原不等式可化为－3<2x－1<3，解得－11时，g′(x)>0，所以函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
当m≥1时，在[m，m＋1]上， g(x)单调递增，g(x)min＝g(m)＝(m－2)em；
当m<1
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