高考数学(理)一轮:一课双测A+B精练(十五) 导数的应用(一)
1.函数f(x)=x+eln x的单调递增区间为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(-∞,0)和(0,+∞) D.R
2.(2012·“江南十校”联考)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )
A.f(b)>f(c)>f(d)
B.f(b)>f(a)>f(e)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(c)>f(e)>f(d)
3.(2012·陕西高考)设函数f(x)=+ln x,则( )
A.x=为f(x)的极大值点
B.x=为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
4.(2012·大纲全国卷)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=( )
A.-2或2 B.-9或3
C.-1或1 D.-3或1
5.若f(x)=,ef(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)1
6.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是( )
A.20 B.18
C.3 D.0
7.已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是________.
8.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m∈[-1,1],则f(m)的最小值为________.
9.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)极大值与极小值之差为________.
10.已知函数f(x)=ax2+bln x在x=1处有极值.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数y=f(x)的单调性并求出单调区间.
11.(2012·重庆高考)设f(x)=aln x++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
12.(2012·郑州质量预测)已知函数f(x)=+ln x.
(1)当a=时,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)-x在[1,e]上为增函数,求正实数a的取值范围.
1.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象是( )
2.(2012·沈阳实验中学检测)已知定义在R上的奇函数f(x),设其导函数为f′(x),当x∈(-∞,0]时,恒有xf′(x)F(2x-1)的实数x的取值范围是( )
A.(-1,2) B.
C. D.(-2,1)
3.(2012·北京东城区综合练习)定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+2同时满足以下条件:
①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;
②f′(x)是偶函数;
③f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设g(x)=·ex,求函数g(x)在[m,m+1]上的最小值.
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5._________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
高考数学(理)一轮:一课双测A+B精练(十五)
A级
1.A 2.C 3.D 4.A
5.选A f′(x)=,当x>e时,f′(x)<0,则f(x)在(e,+∞)上为减函数,f(a)>f(b).
6.选A 因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0,得x=±1,所以-1,1为函数的极值点.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.又由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,从而t≥20,所以t的最小值是20.
7.解析:f′(x)=3x2+2mx+m+6=0有两个不等实根,即Δ=4m2-12×(m+6)>0.所以m>6或m<-3.
答案:(-∞,-3)∪(6,+∞)
8.解析:求导得f′(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,故a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
所以对m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
答案:-4
9.解析:∵y′=3x2+6ax+3b,
?
∴y′=3x2-6x,令3x2-6x=0,则x=0或x=2.
∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.
答案:4
10.解:(1)∵f′(x)=2ax+.
又f(x)在x=1处有极值.
∴即
解得a=,b=-1.
(2)由(1)可知f(x)=x2-ln x,其定义域是(0,+∞),
且f′(x)=x-=.
由f′(x)<0,得00,得x>1.
所以函数y=f(x)的单调减区间是(0,1),
单调增区间是(1,+∞).
11.解:(1)因f(x)=aln x++x+1,
故f′(x)=-+.
由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f′(1)=0,从而a-+=0,
解得a=-1.
(2)由(1)知f(x)=-ln x++x+1(x>0),
f′(x)=--+
=
=.
令f′(x)=0,解得x1=1,x2=-义域内,舍去.
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数.
故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.
12.解:(1)当a=时,
f(x)=+ln x,
f′(x)=,令f′(x)=0,得x=2,
∴当x∈[1,2)时,f′(x)<0,故f(x)在[1,2)上单调递减;
当x∈(2,e]时,f′(x)>0,故f(x)在(2,e]上单调递增,
故f(x)min=f(2)=ln 2-1.
又∵f(1)=0,f(e)=<0.
∴f(x)在区间[1,e]上的最大值f(x)max=f(1)=0.
综上可知,函数f(x)在[1,e]上的最大值是0,最小值是ln 2-1.
(2)∵g(x)=f(x)-x=+ln x-x,
∴g′(x)=(a>0),
设φ(x)=-ax2+4ax-4,由题意知,只需φ(x)≥0在[1,e]上恒成立即可满足题意.
∵a>0,函数φ(x)的图象的对称轴为x=2,
∴只需φ(1)=3a-4≥0,即a≥即可.故正实数a的取值范围为.
B级
1.选D 因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(1)+f′(1)=0;选项D中,f(1)>0,f′(1)>0,不满足f′(1)+f(1)=0.
2.选A 由F(x)=xf(x),得F′(x)=f(x)+xf′(x)=xf′(x)-f(-x)<0,所以F(x)在(-∞,0)上单调递减,又可证F(x)为偶函数,从而F(x)在[0,+∞)上单调递增,故原不等式可化为-3<2x-1<3,解得-11时,g′(x)>0,所以函数g(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
当m≥1时,在[m,m+1]上, g(x)单调递增,g(x)min=g(m)=(m-2)em;
当m<1
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