D单元 数列
D1 数列的概念与简单表示法
15．D1，D5[2013·湖南卷] 对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0.
(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；
(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．
15．2 17 [解析] (1)由特征数列的定义可知，子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.
(2)根据“E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99”可知子集P的“特征数列”为1，0，1，0，…，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98”可知子集Q的“特征数列为1，0，0，1，0，0，…，0，1.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P∩Q的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a1，a7，a13，…，a97，共17项．
4．D1[2013·辽宁卷] 下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
4．D [解析] 因为数列{an}为d>0的数列，所以{an}是递增数列，则p1为真命题．而数列{an＋3nd}也是递增数列，所以p4为真命题，故选D.
D2 等差数列及等有效期数列前n项和
19．D2，D4[2013·安徽卷] 设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x满足f′＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2，求数列{bn}的前n项和Sn.
19．解：(1)由题设可得，f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x.
对任意n∈N*，f′＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．
由a1＝2，a2＋a4＝8，解得{an}的公差d＝1，
所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.
(2)由bn＝2an＋＝2＝2n＋＋2知，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·＋＝n2＋3n＋1－.
7．D2[2013·安徽卷] 设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
7．A [解析] 设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.
20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 给定数列a1，a2，…，an，对i＝1，2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.
(1)设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；
(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列；
(3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，…，an－1是等差数列．
20．解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.
(2)证明：因为a1>0，公比q>1，
所以a1，a2，…，an是递增数列．
因此，对i＝1，2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.
于是对i＝1，2，…，n－1，
di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.
因此di≠0且＝q(i＝1，2，…，n－2)，
即d1，d2，…，dn－1是等比数列．
(3)证明：设d为d1，d2，…，dn－1的公差．
对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0，所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai.
又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.
从而a1，a2，…，an－1是递增数列，因此Ai＝ai(i＝1，2，…，n－1)．
又因为B1＝A1－d1＝a1－d1a1a9，求a1的取值范围．
17．解：(1)因为数列{an}的公差d＝1，
且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，
即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.
(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，
所以5a1＋10>a＋8a1，
即a＋3a1－10<0，解得－50.证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列；
(3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，…，an－1是等差数列．
20．解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.
(2)证明：因为a1>0，公比q>1，
所以a1，a2，…，an是递增数列．
因此，对i＝1，2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.
于是对i＝1，2，…，n－1，
di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.
因此di≠0且＝q(i＝1，2，…，n－2)，
即d1，d2，…，dn－1是等比数列．
(3)证明：设d为d1，d2，…，dn－1的公差．
对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0，所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai.
又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.
从而a1，a2，…，an－1是递增数列，因此Ai＝ai(i＝1，2，…，n－1)．
又因为B1＝A1－d1＝a1－d10，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
22．解：(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.
将y＝2代入上式，并求得x＝±.
由题设知，2 ＝，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝2 .
(2)证明：由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1x2＝.
于是
|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝＝＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－.
故＝－，解得k2＝，从而x1x2＝－.
由于|AF2|＝＝＝1－3x1，
|BF2|＝＝＝3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，
|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，
所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
7．D3[2013·全国卷] 已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )
A．－6(1－3－10) B.(1－310)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
7．C [解析] 由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否则a2＝0)且＝－，所以数列{an}是公比为－的等比数列，代入a2可得a1＝4，故S10＝＝3×＝3(1－3－10)．
17．D2，D3[2013·福建卷] 已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.
(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；
(2)若S5>a1a9，求a1的取值范围．
17．解：(1)因为数列{an}的公差d＝1，
且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，
即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.
(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，
所以5a1＋10>a＋8a1，
即a＋3a1－10<0，解得－5a1a2…an的最大正整数n的值为________．
14．12 [解析] 设{an}的公比为q.由a5＝及a5(q＋q2)＝3得q＝2，所以a1＝，所以a6＝1，a1a2…a11＝a＝1，此时a1＋a2＋…＋a11>1.又a1＋a2＋…＋a12＝27－，a1a2…a12＝26<27－，所以a1a2…a12>a1a2…a12，但a1＋a2＋…＋a13＝28－，a1a2…a13＝26·27＝25·28>28－，所以a1＋a2＋…＋a130.证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列；
(3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，…，an－1是等差数列．
20．解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.
(2)证明：因为a1>0，公比q>1，
所以a1，a2，…，an是递增数列．
因此，对i＝1，2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.
于是对i＝1，2，…，n－1，
di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.
因此di≠0且＝q(i＝1，2，…，n－2)，
即d1，d2，…，dn－1是等比数列．
(3)证明：设d为d1，d2，…，dn－1的公差．
对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0，所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai.
又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.
从而a1，a2，…，an－1是递增数列，因此Ai＝ai(i＝1，2，…，n－1)．
又因为B1＝A1－d1＝a1－d1
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