H单元 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
21．B12，H1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x2e－x.
(1)求f(x)的极小值和极大值；
(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
f′(x)＝－e－xx(x－2)．①
当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0；
当x∈(0，2)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．
故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.
(2)设切点为(t，f(t))，则l的方程为
y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．
所以l在x轴上的截距为
m(t)＝t－＝t＋＝t－2＋＋3.
由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．
令h(x)＝x＋(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2 ，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．
所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2 ＋3，＋∞)．
综上，l在x轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2 ＋3，＋∞)．
5．H1，H4[2013·天津卷] 已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－ B．1
C．2 D.
5．C [解析] 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y－2＝k(x－2)，由题意得＝，解之得k＝－.又∵切线与直线ax－y＋1＝0垂直，∴a＝2.
15．H1，C8，E8[2013·四川卷] 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
15．(2，4) [解析] 在以A，B，C，D为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC，BD交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC所在直线方程为y＝2x，BD所在直线方程为y＝－x＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离
20．H2，H4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 ，在y轴上截得线段长为2 .
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
20．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)，由已知得
＝.
又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得
由得
此时，圆P的半径r＝.
由得
此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
4．H2、H3和H4[2013·重庆卷] 设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
4．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.
H3 圆的方程
14．H3[2013·江西卷] 若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
14．(x－2)2＋＝ [解析] r2＝4＋(r－1)2，得r＝，圆心为.故圆C的方程是(x－2)2＋＝.
21．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
图1－5
21．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.
由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则
|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8
＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．
设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，又因为x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，所以x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以
S＝|2y1||x1－x0|＝×2 |x0|＝
＝.
当x0＝±时，△PP′Q的面积S取到最大值2 .
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±，0)，半径|QP|＝＝，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.
4．H2、H3和H4[2013·重庆卷] 设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
4．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.
H4 直线与圆、圆与圆的位置关系
6．H4[2013·安徽卷] 直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．1 B．2 C．4 D．4
6．C [解析] 圆的标准方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1，2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝1，所以直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0所截得的弦长l＝2＝4.
7．H4[2013·广东卷] 垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
7．A [解析] 设直线方程为y＝－x＋m，且原点到此直线的距离是1，即1＝，解得m＝±.当m＝－时，直线和圆切于第Ⅲ象限，故舍去，选A.
14．H4[2013·湖北卷] 已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：x cosθ＋y sinθ＝1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________．
14．4 [解析] 圆心到直线的距离d＝1，r＝，r－d>d，所以圆O上共有4个点到直线的距离为1，k＝4.
10．H4[2013·江西卷] 如图1－3所示，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图像大致为( )
图1－3
图1－4
10.
B [解析] 如图，设∠MOA＝α，cos α＝1－t，cos 2α＝2cos2 α－1＝2t2－4t＋1，x＝2α·1＝2α，y＝cos x＝cos 2α＝2t2－4t＋1，故选B.
20．H2，H4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 ，在y轴上截得线段长为2 .
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
20．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)，由已知得
＝.
又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得
由得
此时，圆P的半径r＝.
由得
此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
13．H4[2013·山东卷] 过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
13．2 [解析] 设弦与圆的交点为A、B，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得＋(3－2)2＋(2－1)2＝4，解之得|AB|＝2 .
8．H4[2013·陕西卷] 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
8．B [解析] 由题意点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，则满足a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线ax＋by＝1与圆O相交．
5．H1，H4[2013·天津卷] 已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－ B．1
C．2 D.
5．C [解析] 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y－2＝k(x－2)，由题意得＝，解之得k＝－.又∵切线与直线ax－y＋1＝0垂直，∴a＝2.
20．H4，E8，B1[2013·四川卷] 已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且＝＋.请将n表示为m的函数．
20．解：(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4，得
(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*)
由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12>0，得k2>3.
所以，k的取值范围是(－∞，－)∪(＋∞)．
(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则
|OM|2＝(1＋k2)x，|ON|2＝(1＋k2)x.
又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，
由＝＋，得
＝＋，
即＝＋＝.
由(*)式可知，x1＋x2＝，x1x2＝，
所以m2＝.
因为点Q在直线y＝kx上，所以k＝，代入m2＝中并化简，得5n2－3m2＝36.
由m2＝及k2>3，可知00，
所以n＝＝.
于是，n与m的函数关系为n＝(m∈(－，0)∪(0，))．
13．H4[2013·浙江卷] 直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
13．4 [解析] 圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心到直线的距离为d＝＝，所以弦长为2＝2＝4 .
4．H2、H3和H4[2013·重庆卷] 设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
4．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.
H5 椭圆及其几何性质
21．H5，H10[2013·安徽卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(，)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取点A(0，2)，联结AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
21．解：(1)因为焦距为4，所以a2－b2＝4.又因为椭圆C过点P(，)，所以＋＝1，故a2＝8，b2＝4，
从而椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意，E点坐标为(x0，0)，设D(xD，0)，则＝(x0，－2)，＝(xD，－2)．
再由AD⊥AE知，·＝0，即x0xD＋8＝0.由于x0y0≠0，故xD＝－.
因为点G是点D关于y轴的对称点，所以G，0，
故直线QG的斜率kQG＝＝.
又因Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x＋2y＝8.①
从而kQG＝－.
故直线QG的方程为y＝－x－.②
将②代入椭圆C方程，得(x＋2y)x2－16x0x＋64－16y＝0.③
再将①代入③，化简得x2－2x0x＋x＝0，
解得x＝x0，y＝y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．
19．M2，H5，H10[2013·北京卷] 直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．
(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．
19．解：(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．
所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，即t＝±.
所以|AC|＝2 .
(2)证明：假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.
由消y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则
＝－，＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－.
因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
15．H5[2013·全国卷] 若x，y满足约束条件则z＝－x＋y的最小值为________．
15．0 [解析] 已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC及其内部，目标函数的几何意义是直线y＝x＋z在y轴上的截距，显然在点A取得最小值，点A(1，1)，故zmin＝－1＋1＝0.
8．H5[2013·全国卷] 已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
8．C [解析] 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，与直线x＝1联立得y＝±(c＝1)，所以2b2＝3a，即2(a2－1)＝3a，2a2－3a－2＝0，a>0，解得a＝2(负值舍去)，所以b2＝3，故所求椭圆方程为＋＝1.
15．H5，H8[2013·福建卷] 椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
15.－1 [解析] 如图，△MF1F2中，∠MF1F2＝60°，所以∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.又|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝c，|MF2|＝c.根据椭圆定义得2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋c，得e＝＝＝－1.
9．H5[2013·广东卷] 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
9．D [解析] 设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题知c＝1，＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，选D.
12．H5[2013·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为＋＝1(a>0，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2＝d1，则椭圆C的离心率为________．
12. [解析] 由题意知F(c，0)，l：x＝，不妨设B(0，b)，则直线BF：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.
于是d1＝＝，
d2＝－c＝＝.
由d2＝d1，得＝6，
化简得6c4＋a2c2－a4＝0，
即6e4＋e2－1＝0，
解得e2＝或e2＝－(舍去)，
故e＝，故椭圆C的离心率为.
20．H5，H8[2013·江西卷] 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图1－8所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.
证明：2m－k为定值．
图1－8
20．解：(1)因为e＝＝，
所以a＝c，b＝c，代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)方法一：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)，①
①代入＋y2＝1，解得P.
直线AD的方程为y＝x＋1.②
①与②联立解得M.
由D(0，1)，P，N(x，0)三点共线知
＝，解得N.
所以MN的斜率为m＝＝＝，
则2m－k＝－k＝(定值)．
方法二：
设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则k＝.
直线AD的方程为：y＝(x＋2)，
直线BP的方程为：y＝(x－2)，
直线DP的方程为：y－1＝x，令y＝0，由于y0≠1可得N，
联立
解得M，
因此MN的斜率为
m＝＝
＝＝.
所以2m－k＝－
＝
＝
＝
＝(定值)．
11．H5[2013·辽宁卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，联结AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
11．B [解析] 设椭圆的右焦点为Q，由已知|BF|＝8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|＝8，△FAQ为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a＝14，2c＝10，所以e＝.
5．H5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
5．D [解析] 设PF2＝x, 则PF1＝2x，由椭圆定义得3x＝2a，结合图形知，＝＝，故选D.
22．H5，H8[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设＝t，求实数t的值．
22．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
故题意知
解得a＝，b＝1，
因此椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)(i)当A，B两点关于x轴对称时，
设直线AB的方程为x＝m，由题意－＜m＜0或0＜m＜.
将x＝m代入椭圆方程＋y2＝1，
得|y|＝.
所以S△AOB＝|m|＝.
解得m2＝或m2＝.①
又＝t＝t(＋)＝t(2m，0)＝(mt，0)，
因为P为椭圆C上一点，
所以＝1.②
由①②得 t2＝4或t2＝，
又因为t>0，所以t＝2或t＝.
(ii)当A，B两点关于x轴不对称时，
设直线AB的方程为y＝kx＋h.
将其代入椭圆的方程＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由判别式Δ>0可得1＋2k2>h2，
此时x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，
所以|AB|＝＝
2 .
因为点O到直线AB的距离d＝，
所以S△AOB＝|AB|d
＝×2
＝ |h|.
又S△AOB＝，
所以 |h|＝.③
令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0，
解得n＝4h2或n＝h2，
即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④
又＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝，
因为P为椭圆C上一点，
所以t2＝1，
即t2＝1.⑤
将④代入⑤得t2＝4或t2＝，又知t>0，
故t＝2或t＝，
经检验，适合题意．
综合(i)(ii)得t＝2或t＝.
20．H5，H8[2013·陕西卷] 已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．
20．解： (1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.
由此得|4－x|＝2.
化简得＋＝1，
所以，动点M的轨迹方程为＋＝1.
(2)方法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，
其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)>0.
由求根公式得，x1＋x2＝－，①
x1x2＝.②
又因A是PB的中点，故x2＝2x1.③
将③代入①，②，得
x1＝－，x＝，
可得＝，且k2>，
解得k＝－或k＝，
所以，直线m的斜率为－或.
方法二：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵A是PB的中点，
∴x1＝，①
y1＝.②
又＋＝1，③
＋＝1，④
联立①，②，③，④解得或
即点B的坐标为(2，0)或(－2，0)，
所以，直线m的斜率为－或.
9．H5[2013·四川卷] 从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
9．C [解析] 由已知，P点坐标为，A(a，0)，B(0，b)，于是由kAB＝kOP得－＝，整理得b＝c，从而a＝＝c.于是，离心率e＝＝.
18．H5，H8[2013·天津卷] 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点， 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
18．解：(1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±.于是＝，解得b＝.又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)．
由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝.因为A(－，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.
21．H5、H9、H10[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
21．解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2 .
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，
则＝，可求得Q(－4，0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．
由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.
当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1，2＝，
所以|AB|＝|x2－x1|＝.
当k＝－时，由图形的对称性得|AB|＝.
综上，|AB|＝2 或|AB|＝.
9．H5，H6[2013·浙江卷] 如图1－4所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
图1－4
A. B.
C. D.
9．D [解析] 设双曲线实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|＝m，|AF2|＝n，由题意知c＝，2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝4，(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8，2a＝m－n＝2 ，a＝，则双曲线的离心率e＝＝＝，选择D.
21．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
图1－5
21．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.
由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则
|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8
＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．
设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，又因为x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，所以x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以
S＝|2y1||x1－x0|＝×2 |x0|＝
＝.
当x0＝±时，△PP′Q的面积S取到最大值2 .
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±，0)，半径|QP|＝＝，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.
H6 双曲线及其几何性质
22．H6、H8、D3[2013·全国卷] 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
22．解：(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.
将y＝2代入上式，并求得x＝±.
由题设知，2 ＝，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝2 .
(2)证明：由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1x2＝.
于是
|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝＝＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－.
故＝－，解得k2＝，从而x1x2＝－.
由于|AF2|＝＝＝1－3x1，
|BF2|＝＝＝3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，
|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，
所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
4．H6[2013·福建卷] 双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A. B.
C．1 D.
4．B [解析] 取一顶点(1，0)，一条渐近线x－y＝0，d＝＝，故选B.
2．H6[2013·湖北卷] 已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
2．D [解析] c1＝c2＝＝1，故焦距相等．
14．H6[2013·湖南卷] 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
14.＋1 [解析] 如图，因PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，故|PF2|＝|F1F2|＝c，则|PF1|＝c，又由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，即c－c＝2a，故＝＝＋1.
3．H6[2013·江苏卷] 双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
3．y＝±x [解析] 令－＝0，得渐近线方程为y＝±x.
11．H6，H7[2013·山东卷] 抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )
A. B. C. D.
11．D [解析] 抛物线C1：y＝x2的焦点坐标为，双曲线－y2＝1的右焦点坐标为(2，0)，连线的方程为y＝－(x－2)，联立得2x2＋p2x－2p2＝0.设点M的横坐标为a ，则在点M处切线的斜率为y′|x＝a＝′＝.又∵双曲线－y2＝1的渐近线方程为±y＝0，其与切线平行，∴＝，即a＝p，代入2x2＋p2x－2p2＝0得，p＝或p＝0(舍去)．
11．H6[2013·陕西卷] 双曲线－＝1的离心率为________．
11. [解析] 由双曲线方程中a2＝16, b2＝9，则c2＝a2＋b2＝25，则e＝＝.
11．H6，H7[2013·天津卷] 已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
11．x2－＝1 [解析] 由抛物线的准线方程为x＝－2，得a2＋b2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得＝2，得a＝1，b2＝3，∴双曲线的方程为x2－＝1.
7．A2，H6[2013·北京卷] 双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )
A．m> B．m≥1
C．m>1 D．m>2
7．C [解析] 双曲线的离心率e＝＝>，解得m>1.故选C.
4．H6[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
4．C [解析] ＝＝，所以＝，故所求的双曲线渐近线方程是y＝±x.
9．H5，H6[2013·浙江卷] 如图1－4所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
图1－4
A. B.
C. D.
9．D [解析] 设双曲线实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|＝m，|AF2|＝n，由题意知c＝，2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝4，(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8，2a＝m－n＝2 ，a＝，则双曲线的离心率e＝＝＝，选择D.
10．E1、H6和H8[2013·重庆卷] 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10．A [解析] 设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<≤，所以<≤3，<1＋≤4，即有 <≤2.又双曲线的离心率为e＝＝，所以 0.
所以圆心C的坐标为或，
从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为.
20．H7，H8，H10[2013·广东卷] 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
20．解：
21．B12[2013·广东卷] 设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k<0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.
21．解：
9．H7[2013·江西卷] 已知点A(2，0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
9．C [解析] FA：y＝－x＋1，与x2＝4y联立，得xM＝－1，FA：y＝－x＋1，与y＝－1联立，得N(4，－1)，由三角形相似知＝＝，故选C.
10．H7[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为( )
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
10．C [解析] 抛物线的焦点为F(1，0)，若A在第一象限，如图1－5，设AF＝3m，BF＝m.过B作AD的垂线交AD于G，则AG＝2m，由于AB＝4m，故BG＝2m，tan∠GAB＝.∴直线AB的斜率为.同理，若A在第四象限，直线AB的斜率为－，故答案为C.
图1－5
11．H6，H7[2013·山东卷] 抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )
A. B. C. D.
11．D [解析] 抛物线C1：y＝x2的焦点坐标为，双曲线－y2＝1的右焦点坐标为(2，0)，连线的方程为y＝－(x－2)，联立得2x2＋p2x－2p2＝0.设点M的横坐标为a ，则在点M处切线的斜率为y′|x＝a＝′)＝.又∵双曲线－y2＝1的渐近线方程为±y＝0，其与切线平行，∴＝，即a＝p，代入2x2＋p2x－2p2＝0得，p＝或p＝0(舍去)．
11．H6，H7[2013·天津卷] 已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
11．x2－＝1 [解析] 由抛物线的准线方程为x＝－2，得a2＋b2＝4，又∵双曲线的离心率为2，得＝2，得a＝1，b2＝3，∴双曲线的方程为x2－＝1.
5．H7，H8[2013·四川卷] 抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( )
A．2 B．2 C. D．1
5．D [解析] 抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，该点到直线x－y＝0的距离为d＝＝1.
8．H7[2013·新课标全国卷Ⅰ] O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4 x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4 ，则△POF的面积为( )
A．2 B．2 C．2 D．4
8．C [解析] 设P(x0，y0)，根据抛物线定义得|PF|＝x0＋，所以x0＝3 ，代入抛物线方程得y2＝24，解得|y|＝2 ，所以△POF的面积等于·|OF|·|y|＝××2 ＝2 .
H8 直线与圆锥曲线(AB课时作业)
22．H6、H8、D3[2013·全国卷] 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
22．解：(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.
将y＝2代入上式，并求得x＝±.
由题设知，2 ＝，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝2 .
(2)证明：由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1x2＝.
于是
|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝＝＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－.
故＝－，解得k2＝，从而x1x2＝－.
由于|AF2|＝＝＝1－3x1，
|BF2|＝＝＝3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，
|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，
所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
12．F3、H8[2013·全国卷] 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝( )
A. B.
C. D．2
12．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为x＝ty＋2，与抛物线方程联立得y2－8ty－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，y1＋y2＝8t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝8t2＋4，x1x2＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2＋16t2＋4＝4.
·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4
＝4＋16t2＋8＋4－16－16t＋4＝16t2－16t＋4＝4(2t－1)2＝0，解得t＝，所以k＝＝2.
20．H7，H8[2013·福建卷] 如图1－5，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.
(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；
(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．
图1－5
20．解：(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.
由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)，
所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝，
所以|MN|＝2 ＝2 ＝2.
(2)设C，则圆C的方程为＋(y－y0)2＝＋y，即x2－x＋y2－2y0y＝0.
由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0.
设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则
由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，
所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ>0.
所以圆心C的坐标为或，
从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为.
15．H5，H8[2013·福建卷] 椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
15.－1 [解析] 如图，△MF1F2中，∠MF1F2＝60°，所以∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.又|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝c，|MF2|＝c.根据椭圆定义得2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋c，得e＝＝＝－1.
20．H7，H8，H10[2013·广东卷] 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
20．解：
21．B12[2013·广东卷] 设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k<0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.
21．解：
22．H8，H10[2013·湖北卷] 如图1－5所示，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m>n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.
(1)当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；
(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．
图1－5
22．解：依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为
C1：＋＝1，C2：＋＝1，其中a>m>n>0，λ＝>1.
(1)方法一：如图①，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x＝0.则S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|，所以＝.
在C1和C2的方程中分别令x＝0，可得yA＝m，yB＝n，yD＝－m，
于是＝＝＝.
若＝λ，则＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0.
由λ＞1，可解得λ＝＋1.
故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝＋1.
方法二：如图①，若直线l与y轴重合，则
|BD|＝|OB|＋|OD|＝m＋n，|AB|＝|OA|－|OB|＝m－n.
S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|.
所以＝＝＝.
若＝λ，则＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝＋1.
故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝＋1.
(2)方法一：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2，根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k>0)，
点M(－a，0)，N(a，0)到直线l的距离分别为d1，d2，则因为d1＝＝，d2＝＝，
所以d1＝d2.
又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以＝＝λ，即|BD|＝λ|AB|.
由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|，
|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是＝，①
将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得
xA＝，xB＝.
根据对称性可知xC＝－xB，xD＝－xA，于是
＝＝＝.②
从而由①和②式可得＝.③
令t＝，则由m>n，可得t≠1，于是由③可解得k2＝.
因为k≠0，所以k2>0，于是③式关于k有解，当且仅当>0，
等价于(t2－1)t2－<0.由λ>1，可解得1，解得λ>1＋，所以当1<λ≤1＋时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；
当λ>1＋时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.
方法二：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k>0)，
点M(－a，0)，N(a，0)到直线l的距离分别为d1，d2，则
因为d1＝＝，d2＝＝，所以d1＝d2.
又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，
所以＝＝λ.
因为＝＝＝λ，
所以＝.
由点A(xA，kxA)，B(xB，kxB)分别在C1，C2上，
可得＋＝1，＋＝1，
两式相减可得＋＝0，
依题意xA>xB>0，所以x>x，所以由上式解得k2＝.
因为k2>0，所以由>0，可解得1<<λ.
从而1<<λ，解得λ>1＋，所以当1<λ≤1＋时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；
当λ>1＋时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.
20．H5，H8[2013·江西卷] 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图1－8所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.
证明：2m－k为定值．
图1－8
20．解：(1)因为e＝＝，
所以a＝c，b＝c，代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)方法一：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)，①
①代入＋y2＝1，解得P.
直线AD的方程为y＝x＋1.②
①与②联立解得M.
由D(0，1)，P，N(x，0)三点共线知
＝，解得N.
所以MN的斜率为m＝＝＝，
则2m－k＝－k＝(定值)．
方法二：
设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则k＝.
直线AD的方程为：y＝(x＋2)，
直线BP的方程为：y＝(x－2)，
直线DP的方程为：y－1＝x，令y＝0，由于y0≠1可得N，
联立
解得M，
因此MN的斜率为
m＝＝
＝＝.
所以2m－k＝－
＝
＝
＝
＝(定值)．
图1－5
20．H8[2013·辽宁卷] 如图1－5，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
20．解：(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为－1，，故切线MA的方程为y＝
－(x＋1)＋.因为点M(1－，y0)在切线MA与抛物线C2上，于是
y0＝－(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，Ax1，，Bx2，，x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝，③ y＝.④
切线MA，MB的方程为y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.
22．H5，H8[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设＝t，求实数t的值．
22．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
故题意知
解得a＝，b＝1，
因此椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)(i)当A，B两点关于x轴对称时，
设直线AB的方程为x＝m，由题意－＜m＜0或0＜m＜.
将x＝m代入椭圆方程＋y2＝1，
得|y|＝.
所以S△AOB＝|m|＝.
解得m2＝或m2＝.①
又＝t＝t(＋)＝t(2m，0)＝(mt，0)，
因为P为椭圆C上一点，
所以＝1.②
由①②得 t2＝4或t2＝，
又因为t>0，所以t＝2或t＝.
(ii)当A，B两点关于x轴不对称时，
设直线AB的方程为y＝kx＋h.
将其代入椭圆的方程＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由判别式Δ>0可得1＋2k2>h2，
此时x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，
所以|AB|＝＝
2 .
因为点O到直线AB的距离d＝，
所以S△AOB＝|AB|d
＝×2
＝ |h|.
又S△AOB＝，
所以 |h|＝.③
令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0，
解得n＝4h2或n＝h2，
即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④
又＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝，
因为P为椭圆C上一点，
所以t2＝1，
即t2＝1.⑤
将④代入⑤得t2＝4或t2＝，又知t>0，
故t＝2或t＝，
经检验，适合题意．
综合(i)(ii)得t＝2或t＝.
20．H5，H8[2013·陕西卷] 已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．
20．解： (1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.
由此得|4－x|＝2.
化简得＋＝1，
所以，动点M的轨迹方程为＋＝1.
(2)方法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，
其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)>0.
由求根公式得，x1＋x2＝－，①
x1x2＝.②
又因A是PB的中点，故x2＝2x1.③
将③代入①，②，得
x1＝－，x＝，
可得＝，且k2>，
解得k＝－或k＝，
所以，直线m的斜率为－或.
方法二：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵A是PB的中点，
∴x1＝，①
y1＝.②
又＋＝1，③
＋＝1，④
联立①，②，③，④解得或
即点B的坐标为(2，0)或(－2，0)，
所以，直线m的斜率为－或.
5．H7，H8[2013·四川卷] 抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( )
A．2 B．2 C. D．1
5．D [解析] 抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，该点到直线x－y＝0的距离为d＝＝1.
18．H5，H8[2013·天津卷] 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点， 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
18．解：(1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±.于是＝，解得b＝.又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)．
由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝.因为A(－，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.
21．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
图1－5
21．解：(1)由题意知点A(－c，2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.
由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则
|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8
＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．
设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，又因为x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，所以x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以
S＝|2y1||x1－x0|＝×2 |x0|＝
＝.
当x0＝±时，△PP′Q的面积S取到最大值2 .
此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±，0)，半径|QP|＝＝，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.
10．E1、H6和H8[2013·重庆卷] 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10．A [解析] 设双曲线的焦点在x轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<≤，所以<≤3，<1＋≤4，即有 <≤2.又双曲线的离心率为e＝＝，所以 b>0)的焦距为4，且过点P(，)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取点A(0，2)，联结AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
21．解：(1)因为焦距为4，所以a2－b2＝4.又因为椭圆C过点P(，)，所以＋＝1，故a2＝8，b2＝4，
从而椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意，E点坐标为(x0，0)，设D(xD，0)，则＝(x0，－2)，＝(xD，－2)．
再由AD⊥AE知，·＝0，即x0xD＋8＝0.由于x0y0≠0，故xD＝－.
因为点G是点D关于y轴的对称点，所以G，0，
故直线QG的斜率kQG＝＝.
又因Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x＋2y＝8.①
从而kQG＝－.
故直线QG的方程为y＝－x－.②
将②代入椭圆C方程，得(x＋2y)x2－16x0x＋64－16y＝0.③
再将①代入③，化简得x2－2x0x＋x＝0，
解得x＝x0，y＝y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．
19．M2，H5，H10[2013·北京卷] 直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．
(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．
19．解：(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．
所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，即t＝±.
所以|AC|＝2 .
(2)证明：假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.
由消y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则
＝－，＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－.
因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
20．H7，H8，H10[2013·广东卷] 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
20．解：
21．B12[2013·广东卷] 设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k<0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.
21．解：
22．H8，H10[2013·湖北卷] 如图1－5所示，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m>n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.
(1)当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；
(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．
图1－5
22．解：依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为
C1：＋＝1，C2：＋＝1，其中a>m>n>0，λ＝>1.
(1)方法一：如图①，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x＝0.则S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|，所以＝.
在C1和C2的方程中分别令x＝0，可得yA＝m，yB＝n，yD＝－m，
于是＝＝＝.
若＝λ，则＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0.
由λ＞1，可解得λ＝＋1.
故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝＋1.
方法二：如图①，若直线l与y轴重合，则
|BD|＝|OB|＋|OD|＝m＋n，|AB|＝|OA|－|OB|＝m－n.
S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|.
所以＝＝＝.
若＝λ，则＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝＋1.
故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝＋1.
(2)方法一：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2，根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k>0)，
点M(－a，0)，N(a，0)到直线l的距离分别为d1，d2，则因为d1＝＝，d2＝＝，
所以d1＝d2.
又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以＝＝λ，即|BD|＝λ|AB|.
由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|，
|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是＝，①
将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得
xA＝，xB＝.
根据对称性可知xC＝－xB，xD＝－xA，于是
＝＝＝.②
从而由①和②式可得＝.③
令t＝，则由m>n，可得t≠1，于是由③可解得k2＝.
因为k≠0，所以k2>0，于是③式关于k有解，当且仅当>0，
等价于(t2－1)t2－<0.由λ>1，可解得1，解得λ>1＋，所以当1<λ≤1＋时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；
当λ>1＋时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.
方法二：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k>0)，
点M(－a，0)，N(a，0)到直线l的距离分别为d1，d2，则
因为d1＝＝，d2＝＝，所以d1＝d2.
又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，
所以＝＝λ.
因为＝＝＝λ，
所以＝.
由点A(xA，kxA)，B(xB，kxB)分别在C1，C2上，
可得＋＝1，＋＝1，
两式相减可得＋＝0，
依题意xA>xB>0，所以x>x，所以由上式解得k2＝.
因为k2>0，所以由>0，可解得1<<λ.
从而1<<λ，解得λ>1＋，所以当1<λ≤1＋时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；
当λ>1＋时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.
17．H10[2013·江苏卷] 如图1－3，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
图1－3
17．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.
由题意，＝1，解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为
(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2 ，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则|2－1|≤CD≤2＋1，
即1≤≤3.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.
21．H5、H9、H10[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
21．解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2 .
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，
则＝，可求得Q(－4，0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．
由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.
当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1，2＝，
所以|AB|＝|x2－x1|＝.
当k＝－时，由图形的对称性得|AB|＝.
综上，|AB|＝2 或|AB|＝.
图1－1
22．H10[2013·浙江卷] 已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．
22．解：(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.
由消去y，整理得x2－4kx－4＝0.
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
从而|x1－x2|＝4 .
由
解得点M的横坐标xM＝＝＝.
同理点N的横坐标xN＝.
所以|MN|＝ |xM－xN|
＝
＝8
＝.
令4k－3＝t，t≠0，则k＝.
当t>0时，|MN|＝2 >2 ；
当t<0时，|MN|＝2 ≥ .
综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|的最小值是 .
1．[2013·西北工大附中适应性训练] 已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是________．
1．5或3 [解析] 由已知得k1＝k2，当k＝4时，l1和l2不平行；当k≠4时，有＝k－3?k－4＝1或k－3＝0?k＝5或3.
2．[2013·银川一中月考(六)] 已知直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A，B，O是坐标原点，|＋|≥||，那么实数m的取值范围是________．
2．(－2，－]∪[，2) [解析] 联立方程?2x2＋2mx＋m2－2＝0，因直线与圆交于不同两点，所以Δ＝4m2－8(m2－2)>0?m2＜4?－2＜m＜2，由韦达定理得由＝－，|＋|≥||，
得|＋|≥|－|，平方得(＋)2≥(－)2?·≥0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2＋y1y2≥0.将y1＝－x1－m和y2＝－x2－m代入得x1x2＋(－x1－m)(－x2－m)≥0?2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2≥0，代入韦达定理，解得m≤－或m≥.
综上，m满足?m∈(－2，－]∪[，2)．
3．[2013·辽阳高三检测] 已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为( )
A．(－2，0) B．(0，1)
C．(2，0) D．(0，1)和(0，－1)
3．D [解析] 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|·|PF2|≤＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|，即点P的坐标为P(0，－1)或(0，1)时，等号成立．
4．[2013·长春一调] 如图K34－2所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2AD，设∠DAB＝θ，θ∈，以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点B的椭圆的离心率为e2，则( )
A．当θ增大时，e1增大，e1·e2为定值
B．当θ增大时，e1减小，e1·e2为定值
C．当θ增大时，e1增大，e1·e2增大
D．当θ增大时，e1减小，e1·e2减小
图K34－2
4．B [解析] 由题可知：双曲线离心率e1＝，椭圆离心率e2＝.
设|AD|＝|BC|＝t，则|AB|＝2t，|CD|＝2t－2tcos θ，
|BD|＝t，
e1＝，e2＝，
θ∈时，当θ增大，cos θ减小，导致e1减小，
e1·e2＝·＝1，故选B.
5．[2013·郑州一检] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
5．B [解析] 因为双曲线的离心率是，所以e＝，
即＝，则1＋＝()2，＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
6．[2013·武汉联考] 过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
6．D [解析] 由题意知点A，B到x＝－1的距离之和为3，由抛物线定义可知|AB|＝3，我们知道抛物线中过焦点的弦长最小值为2p＝4，而|AB|＝3，显然这样的弦不存在．
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