M单元 推理与证明
M1 合情推理与演绎推理
图1－3
17．M1[2013·湖北卷] 在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图1－3中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.
(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；
(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．
17．(1)3，1，6 (2)79 [解析] (1)把四边形面积分割，其中四个面积为的三角形，一个面积为1的正方形，故其面积为S＝3；四边形内部只有一个格点；边界上有6个格点，故答案为3，6，1.
(2)根据图中的格点三角形和四边形可得1＝4b＋c，3＝a＋6b＋c，再选顶点为(0，0)，(2，0)，(2，2)，(0，2)的格点正方形可得4＝a＋8b＋c，由上述三个方程组解得a＝1，b＝，c＝－1，所以S＝N＋L－1，将已知数据代入得S＝71＋9－1＝79.
16．B7，M1[2013·山东卷] 定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：
①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln a＋ln＋b；
③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
16．①③④ [解析] ①中，当ab≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln＋ab＝ln ab＝bln a＝bln＋a；当00，∴01时，左边＝ln＋(ab)＝0，右边＝ln＋a＋ln＋b＝ln a＋0＝ln a>0，∴②不成立．
③中，当≤1，即a≤b时，左边＝0，右边＝ln＋a－ln＋b≤0，左边≥右边，成立；当>1时，左边＝ln ＝ln a－ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a－ln b，左边≥右边成立；若01>b>0，左边＝ln ＝ln a－ln b>ln a，右边＝ln a，左边≥右边成立，∴③正确．
④中，若00，左边≤右边；若a＋b≥1，ln＋(a＋b)－ln 2＝ln(a＋b)－ln 2＝ln.
又∵≤a或≤b，a，b至少有1个大于1，
∴ln≤ln a或ln≤ln b，即有ln＋(a＋b)－ln 2＝ln (a＋b)－ln 2＝ln≤ln＋a＋ln＋b，∴④正确．
13．M1[2013·陕西卷] 观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
……
照此规律，第n个等式可为______________．
13．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
[解析] 结合已知所给定的几项的特点，可知式子左边共n项，且从(n＋1)一直到(n＋n)，右侧第一项为2n，连乘的第一项为1，最后一项为(2n－1)，故所求表达式为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
M2 直接证明与间接证明
20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 给定数列a1，a2，…，an，对i＝1，2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.
(1)设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；
(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列；
(3)设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，…，an－1是等差数列．
20．解：(1)d1＝2，d2＝3，d3＝6.
(2)证明：因为a1>0，公比q>1，
所以a1，a2，…，an是递增数列．
因此，对i＝1，2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.
于是对i＝1，2，…，n－1，
di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1(1－q)qi－1.
因此di≠0且＝q(i＝1，2，…，n－2)，
即d1，d2，…，dn－1是等比数列．
(3)证明：设d为d1，d2，…，dn－1的公差．
对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0，所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai.
又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.
从而a1，a2，…，an－1是递增数列，因此Ai＝ai(i＝1，2，…，n－1)．
又因为B1＝A1－d1＝a1－d12，d>2，则c＋d>4，与已知c＋d≤4相矛盾，则假设不成立，故min(a，b)≤2，即c∧d≤2.故选择C.
M3 数学归纳法
M4 单元综合
1．[2013·陕西安康模拟] 已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2011(x)＝( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
1．D [解析] 由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，
f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，
可以归纳出：
f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，
f4n＋3(x)＝－cos x(n∈N*)．
所以f2 011(x)＝f3(x)＝－cos x.
2．[2013·诸城模拟] 如图K41－1所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(色括两个端点)有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝( )
图K41－1
A. B.
C. D.
2．B [解析] 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，所以＝＝＝－，所以＋＋＋…＋＝
1－＋－＋…＋－＝，选B.
3．[2013·绍兴模拟] 已知1＋2·3＋3·32＋4·33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值分别为( )
A．a＝，b＝c＝
B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝
D．不存在这样的a，b，c
3．A [解析] 令n＝1，2，3，得所以a＝，b＝c＝.
4．[2013·广东汕头模拟] 已知＝2 ，＝3 ，＝4 ，若＝6 (a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a－t＝________．
4．－29 [解析] 类比等式可推测a＝6，t＝35，则a－t＝－29.
5．[2013·江门联考] 已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：________________________________________________________________________.
5.＝ [解析] 由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝b11b20，所以＝
6．[2013·福州模拟] 已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a>1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论>a成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上的不同两点，则类似地有________成立．
6.
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