2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十四) 直线、平面垂直的判定与性质
1．(2012·杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a?α，b?β
C．a⊥α，b∥α D．a⊥α，b⊥α
2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题
①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l?β，且l∥α，则l∥β.
其中正确的命题是( )
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
3．给出命题：
(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．
其中正确命题个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4.(2013·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )
A．①② B．①②③ C．① D．②③
6.(2012·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
8．(2012·忻州一中月考)正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________．
9.(2013·蚌埠模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：
①三棱锥A－D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________．
10.如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
(1)求证：DM∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC.
11.(2012·北京海淀二模)如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC.
(1)求证：平面MOE∥平面PAC；
(2)求证：平面PAC⊥平面PCB.
12．(2012·珠海摸底)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，四边形ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD＝DC＝CB＝AE＝a，∠ACB＝.
(1)求证：BC⊥平面ACFE；
(2)若M是棱EF上一点，AM∥平面BDF，求EM的长．
1.如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
2．如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，则△ACD是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3.(2012·莆田模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC，△ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.
(1)现给出三个条件：①PB＝；②PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC；
(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5._________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
2014高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十四)
A级
1．C 2.D 3.B 4.A
5．选B 对于①，∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.∵PA?平面PAC，
∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．
6．选D 在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.
7．解析：由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD.
而PC?平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
8．解析：如图，设AC∩BD＝O，连接SO，取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，连接GH，
易知AC⊥EF，
GH∥SO，
∴GH⊥平面ABCD，
∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，
故动点P的轨迹是△EFG，
由已知易得EF＝，
GE＝GF＝，∴△EFG的周长为＋，故动点P的轨迹长为＋.
答案：＋
9．解析：连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1∥BC1.
∴BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，
∴三棱锥P－AD1C的体积不变．
又VP－AD1C＝VA－D1PC，∴①正确．
∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P?平面A1C1B，
∴A1P∥平面ACD1，②正确．
由于DB不垂直于BC1显然③不正确；
由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，
∴DB1⊥平面AD1C.DB1?平面PDB1，
∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．
答案：①②④
10．证明：(1)由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.
又MD?平面APC，AP?平面APC，
故MD∥平面APC.
(2)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，
所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.
又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.
因为BC?平面PBC，所以AP⊥BC.
又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.
因为BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.
11．证明：(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，
所以OE∥PA.
因为PA?平面PAC，OE?平面PAC，
所以OE∥平面PAC.
因为OM∥AC，
且AC?平面PAC，OM?平面PAC，
所以OM∥平面PAC.
因为OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O，
所以平面MOE∥平面PAC.
(2)因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.
因为AC?平面PAC，PA?平面PAC，
PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC?平面PCB，
所以平面PAC⊥平面PCB.
12．解：(1)证明：因为∠ACB＝，所以BC⊥AC.又因为BC?平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，平面ACFE⊥平面ABCD，
所以BC⊥平面ACFE.
(2)记AC∩BD＝O，在梯形ABCD中，因为AD＝DC＝CB＝a，AB∥CD，所以∠ACD＝∠CAB＝∠DAC.
所以π＝∠ABC＋∠BCD＝∠DAB＋∠ACD＋∠ACB＝3∠DAC＋，所以∠DAC＝，即∠CBO＝.
又因为∠ACB＝，CB＝a，所以CO＝a.连接FO，由AM∥平面BDF得
AM∥FO，因为四边形ACFE是矩形，
所以EM＝CO＝a.
B级
1．选C 要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
2．解析：选B ∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，
∴b⊥面ABC，
∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．
3．解：法一：(1)选取条件①
在等腰直角三角形ABC中，
∵AB＝1，
∴BC＝1，AC＝.
又∵PA＝AC，∴PA＝.
∴在△PAB中，AB＝1，PA＝.
又∵PB＝，
∴AB2＋PA2＝PB2.
∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB.
又∵PA⊥AC，AB∩AC＝A，
∴PA⊥平面ABC.
(2)依题意得，由(1)可知PA⊥平面ABC，
V三棱锥P－ABC＝PA·S△ABC＝×××12＝.
法二：(1)选取条件②
∵PB⊥BC，
又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，
∴BC⊥平面PAB.
∵PA?平面PAB，
∴BC⊥PA.
又∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，
∴PA⊥平面ABC.
(2)依题意得，由(1)可知PA⊥平面ABC.
∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，
∴AC＝，
∴PA＝，
∴V三棱锥P－ABC＝PA·S△ABC＝×AB·BC·PA＝××1×1×＝.
法三：(1)选取条件③
若平面PAB⊥平面ABC，
∵平面PAB∩平面ABC＝AB，BC?平面ABC，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB.
∵PA?平面PAB，∴BC⊥PA.
∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，
∴PA⊥平面ABC.
(2)同法二．
MZP
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