陕西师范大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习冲刺训练提升：推理与证明
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．观察下列各式:则的末四位数字为( )
A．3125 B． 5625 C．0625 D．8125
【答案】D
2．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A．4,6,1,7 B．7,6,1,4 C．6,4,1,7 D．1,6,4,7
【答案】C
3．观察，则归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
4．已知，，那么下列不等式成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
5．设为正整数,,经计算得 观察上述结果,可推测出一般结论( )
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
6．已知，由不等式…….,可以推出结论： =( )
A． B． C． D．
【答案】D
7．已知整数的数对列如下：
(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，
(1,4)， (2，3），( 3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…
则根据上述规律，第60个数对可能是( )
A． (3,8) B． (4,7) C． (4,8) D． (5,7)
【答案】D
8．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，
(2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是( )
A．与的假设都错误
B．与的假设都正确
C．的假设正确；的假设错误
D．的假设错误；的假设正确
【答案】Ｄ
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用的火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是( )
A． B． C． D．
【答案】C
10．对于数25，规定第1次操作为，第2次操作为，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是( )
A．25 B．250 C．55 D． 133
【答案】D
11．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )
【答案】A
12．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于( )
A．演绎推理 B．类比推理 C．合情推理 D．归纳推理
【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是
由6颗珠宝（图中圆圈表示珠宝）构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件
首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量
的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第7件首饰上应有____________颗珠宝。
【答案】91
14．给出问题：已知满足，试判断的形状，某学生的解答如下：
故事直角三角形．
(ii）设外接圆半径为R，由正弦定理可得，原式等价于
故是等腰三角形．
综上可知，是等腰直角三角形．
请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果 ．
【答案】等腰或直角三角形
15．对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数， 都有，则的值是____________。
【答案】4
16．已知，且， 则____________．
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．求证：（是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与轴有两个交点．
【答案】假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点，则有
三式相加，得a2+b2+c2－ab－ac－bc≤0
(a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0．
∴a=b=c与已知a，b，c是互不相等的实数矛盾，
∴这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．
18．求证： > 2
【答案】要证： >2
只需：>2成立，
即证：>
只需证：13+2> 13+2
即证： 42>40
∵42>40显然成立， ∴ >2证毕。
19．已知,且,求证:与中至少有一个小于2.
【答案】假设与都大于或等于2,即,
,故可化为,
两式相加,得x+y≤2,
与已知矛盾.所以假设不成立,即原命题成立.
20．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出，并猜测的表达式；
(2)求证：＋＋＋…＋．
【答案】 (1)∵ f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴ f(5)＝25＋4×4＝41.
∵ f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴ f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…
f(2)－f(1)＝4×1，
∴ f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴ f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，
又n＝1时，f(1)也适合f(n)．
∴ f(n)＝2n2－2n＋1.
(2)当n≥2时，＋＋＋…＋
，
∴ …＋
.
21．设函数（、为实常数），已知不等式
对一切恒成立.定义数列：
(I）求、的值；
(II）求证：
【答案】（I）由得
故
(II）当时,
即
当时,
又
从而
当时,
又当时, 成立
所以时,
22．用三段论方法证明：．
【答案】因为，所以（此处省略了大前提），
所以（两次省略了大前提，小前提），
同理，，，
三式相加得．
(省略了大前提，小前提）
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