高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(五十八) 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
2．(2012·福州模拟)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( )
A．16种 B．18种
C．37种 D．48种
3．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有( )
A．30种 B．31种
C．35种 D．40种
4．某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有( )
A．10种 B．12种
C．15种 D．16种
5.(2013·汕头模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A．400种 B．460种
C．480种 D．496种
6．(2012·新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种
C．9种 D．8种
7．从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．
8．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有________场比赛．
9.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
10．(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
11.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？
12.如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有多少种？
1．下表是高考第一批录取的一份志愿表．现有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择，如果要将表格填满且规定：学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你的不同的填写方法种数为( )
志愿
学校
专业
第一志愿
A
第1专业 第2专业
第二志愿
B
第1专业 第2专业
第三志愿
C
第1专业 第2专业
A．43·(A)3 B．43·(C)3
C．A·(C)3 D．A·(A)3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．
3．(2012·太原月考)已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．
(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？
(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？
(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5.__________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(五十八)
A级
1．选B 赠送一本画册，3本集邮册，共4种方法；赠送2本画册，2本集邮册，共C种方法．由计数原理知有4＋C＝10(种)．
2．选C 三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37(种)．
3．选B 分类：第一类，两人拿对，其他3人均拿错：2×C＝20(种)；第二类，三人拿对：C＝10(种)；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种．故共有20＋10＋1＝31(种)．
4．选C 分三类：①使用甲原料有C·1＝3(种)方法；②使用乙原料有C·A＝6(种)方法；③甲、乙原料都不使用，有A＝6(种)方法，共有3＋6＋6＝15(种)投放方案．
5．选C 从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，因此不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．
6．选A 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．
7．共有4×5×4×3＝240(种)．
答案：240
8．解析：小组赛共有2C场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4场比赛．根据分类计数原理知共有2C＋4＝16场比赛．
答案：16
9．解析：分两类：①有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；②有两条公共边的三角形共有8个．故共有32＋8＝40(个)．
答案：40
10．解：(1)该问题中要完成的事情是4名同学报名，因而可按学生分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81种报名方法．
(2)该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64种．
11．解：根据A球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6(种)不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3×2×1＝6(种)不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E根据分步乘法计数原理得，3×3×2×1＝18(种)不同方法．
综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30(种)．
12．解：分三类：(1)B、D、E、F用四种颜色，则有A×1×1＝24种方法；
(2)B、D、E、F用三种颜色，则有A×2×2＋A×2×1×2＝192种方法；
(3)B、D、E、F用两种颜色，则有A×2×2＝48，所以共有不同的涂色方法24＋192＋48＝264种．
B级
1．选D 第一步，先填写志愿学校，三个志愿学校的填写方法数是A；第二步，再填写对应志愿学校的专业，各个对应学校专业的填写方法数都是A，故专业填写方法数是AAA.根据分步乘法计数原理，共有填写方法数A·(A)3.
2．解析：第一步，从红、黄、蓝三种颜色中任选一种去涂标号为“1、5、9”的小正方形，涂法有3种；
第二步，涂标号为“2、3、6”的小正方形，若“2、6”同色，涂法有2×2种，若“2、6”不同色，涂法有2×1种；
第三步：涂标号为“4、7、8”的小正方形，涂法同涂标号为“2、3、6”的小正方形的方法一样．
因此符合条件的所有涂法共有3×(2×2＋2×1)×(2×2＋2×1)＝108(种)．
答案：108
3．解：(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．
(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．
(3)分为如下四类：
第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；
第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C·C＝12种方法；
第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C·C＝6种方法；
第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C·C＝12种方法．
所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个)．
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