高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(五十四) 双 曲 线
1．(2013·唐山模拟)已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
2．若双曲线过点(m，n)(m＞n＞0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上
3．(2012·华南师大附中模拟)已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率为( )
A.或 B.
C. D.或
4.(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2
C. D.
5．(2013·哈尔滨模拟)已知P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且,·,＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
6．(2012·浙江模拟)平面内有一固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|OP|的最小值为( )
A．3 B．2
C. D．1
7．(2012·西城模拟)若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k＝________.
8．(2012·天津高考)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.
9．(2012·济南模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．
10．(2012·宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：·＝0.
11．(2012·广东名校质检)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
12．设双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；
(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
1．(2012·长春模拟)设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|,＋―→,|＝|,|，则的值为( )
A. B．2
C. D．1
2．已知双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，则双曲线的离心率e的取值范围为________．
3．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为 .
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使,＋,＝t,，求t的值及点D的坐标．
[答 题 栏]
A级
1._________ 2._________ 3._________ 4._________ 5.__________ 6._________
B级
1.______ 2.______
7. __________ 8. __________ 9. __________
答 案
高考数学（理）一轮：一课双测A+B精练(五十四)
A级
1．选A 由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由已知条件可得即
解得故双曲线方程为－＝1.
2．选A ∵m＞n＞0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．
3．选D ∵m2＝16，∴m＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m＝4时，e＝＝＝.当m＝－4时，e＝＝＝.
4．选B 设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.
5．选C 由,·,＝0得,⊥,，设|,|＝m，|,|＝n，不妨设m＞n，则m2＋n2＝4c2，m－n＝2a，mn＝9，＝，解得∴b＝3，∴a＋b＝7.
6．选C 依题意得，动点P位于以点A，B为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP|的最小值等于.
7．解析：∵双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，
∴1＋＝32＝9，可得k＝.
答案：
8．解析：双曲线－＝1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a，又因为c＝，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2.
答案：1 2
9．解析：设双曲线的右焦点为F′.由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝2×＝a，故|PF|＝3a，根据勾股定理得|FF′|＝a.所以双曲线的离心率为＝.
答案：
10．解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
11．解：(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，
所以a＝3，b＝4，c＝5，
所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.
(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，
cos ∠F1PF2＝
＝
＝＝0，
则∠F1PF2＝90°.
12．解：(1)∵e＝2，∴c2＝4a2.∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2.
∴双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)．
∵2|AB|＝5|F1F2|，∴|AB|＝|F1F2|＝×2c＝10.
∴ ＝10.
又y1＝x1，y2＝－x2,2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2，
∴y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
∴ ＝10，
∴3(2y)2＋(2x)2＝100，即＋＝1.
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为的椭圆．
B级
1．选A 依题意，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，不妨设m＞n.则由|,＋,|＝|,|得|,＋,|＝|,－,|＝|,－,|，即|,＋,|2＝|,－,|2，所以,·,＝0，所以m2＋n2＝4c2.又e1＝，e2＝，所以＋＝＝2，所以＝＝.
2．解析：由题意知直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式得，点(1,0)到直线l的距离d1＝，同理得，点(－1,0)到直线l的距离d2＝，s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
所以5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5.
由于e＞1，所以e的取值范围为.
答案：
3．解：(1)由题意知a＝2，故一条渐近线为y＝x，
即bx－2y＝0，则＝，
得b2＝3，故双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
则得
故t＝4，点D的坐标为(4，3)．
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