小题专项集训(十三) 立体几何（二）
(时间：40分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x的值为 ( )．
A. B. C. D．0
解析 由四点共面的充要条件，知x＋＋＝1，因此x＝.
答案 A
2. (2011·辽宁)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )．
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析 易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC?平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．
答案 D
3．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是 ( )．
A．(0,0，±2) B．(0,0，±3)
C．(0,0，±) D．(0,0，±1)
解析 设M为(0,0，z)，直线l的一个单位方向向量为s0＝，故点M到直线l的距离d＝＝ ＝，解得z＝±3.
答案 B
4．在如图所示的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为( )．
A．－ B．－
C. D.
解析 如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E.则＝(－1,1,0)，＝，若异面直线DE与AC所成的角为θ，cos θ＝|cos〈，〉|＝.
答案 D
5．(2011·全国)已知二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于 ( )．
A. B. C. D．1
解析 ∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2，
∴||2＝2.在Rt△BDC中，BC＝.
∵面ABC⊥面BCD，过D作DH⊥BC于H，则DH⊥面ABC，
∴DH的长即为D到平面ABC的距离，
∴DH＝＝＝.故选C.
答案 C
6．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 以A为坐标原点，AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，则＝(0,2,1)，Q(1,1,0)，P(1,0,2)，＝(0，－1,2)，所以·＝0，所以QP与AM所成角为.
答案 D
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为 ( )．
解析 以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：
设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则
P，C(0，a,0)，
则|MC|＝，
|MP|＝ .
由|MP|＝|MC|得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y＝x的一部分．
答案 A
8．如图所示，在四面体P－ABC中，PC⊥面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－AP－C的余弦值为 ( )．
A. B.
C．－ D.
解析 如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E.设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，可以求得BD＝，ED＝.因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，
所以·＝－，所以cos〈，〉＝－.故选C.
答案 C
9．(2013·南通一模)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则 ( )．
A．EF至多与A1D、AC之一垂直
B．EF与A1D、AC都垂直
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
解析 设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，＝，＝(－1，－1,1)，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.
答案 B
10．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为
( )．
A．60° B．70° C．80° D．90°
解析 不妨设PM＝a，PN＝b，如图所示，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，因为∠BPM＝∠BPN＝45°，所以PE＝a，PF＝b，所以·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b＝－－＋＝0，所以⊥，所以二面角α－AB－β的大小为90°.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，
∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
答案 2
12．(2013·徐州模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
解析 如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，由已知条件A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，C(0,1,0)，＝，＝(－1,0,0)设异面直线AE与BC所成角为θ.
cos θ＝|cos〈，〉|＝＝.
答案
13．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2.则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为________．
解析 如图，以点A为原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz.AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(0,1，0)，P(0,0,2)，D，E，F.
∴＝(0,0,2)，＝，＝.
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．则
即解得
取z＝1，则平面DEF的一个法向量为n＝(2,0,1)．
设PA与平面DEF所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝
＝，故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.
答案
14．已知：如图，△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M、N、D分别是SC、AB、BC的中点，则A到平面SND的距离为________．
解析 建立如图的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(－1,4，0)，∴＝(0，－2,2)，＝(－1,4，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)，∵n·＝0，n·＝0，
∴，∴，∴n＝(2,1,1)．∵＝(0,0,2)．
∴A到平面SND的距离为＝＝.
答案
15．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，则二面角B1－A1C－C1的大小是________．
解析 如图所示，以B为原点O，OA，OC，OB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，
设AC的中点为M，M的坐标为(1,1,0)，连接BM，由题意，知BM⊥AC，BM⊥CC1，又AC∩CC1＝C，所以BM⊥平面A1C1CA，即＝(1,1,0)是平面A1C1CA的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，由题意，得＝(－2,2，－2)，＝(－2,0,0)，所以令z＝1，得x＝0，y＝1，所以n＝(0,1,1)．设法向量n与的夹角为φ，二面角B1－A1C－C1的大小为θ，显然θ为锐角，所以cos θ＝|cos φ|＝＝，解得θ＝.
答案
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