小题专项集训(十五) 圆锥曲线
(时间：40分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．设椭圆＋＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 ( )．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 依题意知：＝，得m＝4.由n2＝m2－22＝12，所以所求椭圆方程是＋＝1.
答案 B
2．已知中心在原点的双曲线的顶点与焦点分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 依题意知双曲线的顶点(c,0)，(－c,0)，焦点为(a,0)，(－a,0)，则＝2，故椭圆的离心率e＝＝.
答案 B
3．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是 ( )．
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
解析 由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆．
答案 A
4．P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则·＝ ( )．
A．3 B. C．2 D．2
解析 ∵S△PF1F2＝b2tan ＝3×tan 30°＝＝||·||·sin 60°，
∴||·||＝4，∴·＝4×＝2.
答案 D
5．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 ( )．
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
解析 根据题目条件中双曲线的离心率为，可以排除选项B和D，选项A中，一个焦点为(，0)，其渐近线方程为x±y＝0，那么焦点到渐近线的距离为d＝＝≠1，也可以排除，故选择正确答案C.
答案 C
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )．
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B.
答案 B
7．△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是 ( )．
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)
解析 如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
答案 C
8．在焦点分别为F1，F2的双曲线上有一点P，若∠F1PF2＝，|PF2|＝2|PF1|，则该双曲线的离心率等于 ( )．
A．2 B. C．3 D.
解析 在△F1PF2中，由余弦定理可得
cos ＝＝，
解得|PF1|＝c，则|PF2|＝c，
由双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝c－c＝2a，
即＝，故选D.
答案 D
9．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线－y2＝1(m>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( )．
A. B. C．2 D．2
解析 抛物线的准线方程为x＝－2，设准线与x轴的交点为D(－2,0)，由题意得∠AFB＝90°，故|AB|＝2|DF|＝8，故点A的坐标为(－2,4)．由点A在双曲线－y2＝1上可得－42＝1，解得m＝.故c2＝m＋1＝，故双曲线的离心率e＝＝ ＝.
答案 B
10．设P为圆x2＋y2＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若＝λ(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为 ( )．
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解析 设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，由＝λ，得(λ＞0)，∴
由于x＋y＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1，∴M的轨迹为椭圆．
答案 B
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
解析 抛物线的焦点为，椭圆中，a＝，b＝，所以c＝2，即右焦点为(2,0)．所以＝2，即p＝4.
答案 4
12．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是______________________________________________．
解析 由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.
答案 x＋2y－4＝0
13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
解析 由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝－e2.
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，即e的最大值为.
答案
14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析 根据椭圆C的焦点在x轴上，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，∵e＝，∴＝.根据△ABF2的周长为16，得4a＝16，∴a＝4，b＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
15．(2013·枣庄一模)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．
解析 法一 (直接法)设A(x，y)，y≠0，则D，
∴|CD|＝ ＝3，
化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，所以A不能落在x轴上，即y≠0.
法二 (定义法)如图所示，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E.
∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，则E(10,0)．
∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x－10)2＋y2＝36，又A，B，C三点构成三角形，∴A点纵坐标y≠0，故A点轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
答案 (x－10)2＋y2＝36(y≠0)
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