小题专项集训(五) 导数及其应用
(时间：40分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．(2013·西安十校联考)若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的 ( )．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
2．(2013·济南模拟)曲线f(x)＝x2(x－2)＋1在点(1，f(1))处的切线方程为 ( )．
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
解析 ∵f(x)＝x2(x－2)＋1＝x3－2x2＋1，∴f′(x)＝3x2－4x，∴f′(1)＝－1，∵f(1)＝0，∴曲线在点(1,0)处的切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案 D
3．(2013·石家庄质检)函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图，则f(x)在[－2,1]上的最小值为 ( )．
A．2 B．0
C．－1 D．3
解析 由函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知，函数f(x)为一元二次函数，且其图象的对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，∵f(0)＝0，∴c＝0，f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)的图象过点(－1,0)与点(0,2)，则有，∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)在[－2,1]上的最小值为f(－1)＝－1.
答案 C
4．(2013·山师大附中月考)如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是 ( )．
解析 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有答案A满足．
答案 A
5．(2013·河北四校联考)定义在R上的函数y＝f(x)满足f(3－x)＝f(x)，f′(x)>0，若x13，则有 ( )．
A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)时，f′(x)>0，f(x)在上是增函数．若x1≥，则由已知有x2>x1≥，f(x2)>f(x1)；若x1<，则由x13得x2>3－x1>.所以f(x2)>f(3－x1)＝f(x1)．选B.
答案 B
6．(2013·济宁模拟)曲线y＝与x＝1，x＝4及x轴所围成的封闭图形的面积为
( )．
A. B. C. D.
解析 所求的封闭图形的面积S＝＝.
答案 A
7．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是 ( )．
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析 设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为2x0，由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
答案 D
8．(2013·西安质检)已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值是 ( )．
A．e B．－e C. D．－
解析 依题意，设直线y＝kx与曲线y＝ln x切于点(x0，kx0)，则有由此得x0＝e，k＝.
答案 C
9．已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为 ( )．
A．(－3，－2)∪(2,3) B．(－，)
C．(2,3) D．(－∞，－)∪(＋∞)
解析 由图知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f(－2)＝1，f(3)＝1，所以所求不等式等价于－20.由曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于的锐角得，对于任意正数x，均有＋x＋(1－a)≥1，即a≤＋x.注意到当x>0时，＋x≥2 ＝2，当且仅当＝x，即x＝1时取等号，因此实数a的取值范围是(－∞，2]．
答案 (－∞，2]
13．(2013·荆州中学月考)若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，
∴由题意，知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．
即a＝－在(0，＋∞)上有解．
∵x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．
答案 (－∞，0)
14．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________．
解析 当x∈(0,1]时，不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0,1]，g′(x)＝＝－，g′(x)与g(x)随x变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
f(x)
4
因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．
答案 [4，＋∞)
15．(2013·洛阳统考)如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)＝2x2－2x及直线y＝2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________．
解析 曲线f(x)＝2x2－2x与直线y＝2x的交点为(0,0)和(2,4)，曲线f(x)＝2x2－2x与x轴的交点为(0,0)和 (1,0)，其顶点为.因为矩形ABCD的面积为×2＝9，阴影部分的面积为(2x－2x2＋2x)dx＝＝，所以该点落在阴影部分的概率为＝.
答案
【点此下载】