小题专项集训(七) 三角恒等变换、解三角形
(时间：40分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．计算sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为 ( )．
A．－ B. C. D．1
解析 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝.
答案 B
2．函数y＝2cos2－1是 ( )．
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析 因为y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x，故T＝π，选A.
答案 A
3．(2013·湖北八校联考)在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于
( )．
A．135° B．105° C．45° D．75°
解析 由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又由题知0°0，于是有cos B<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.
答案 A
6．(2013·浙江五校联考)若△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝ ( )．
A．5 B．25 C. D．5
解析 由S△ABC＝acsin 45°＝2，得c＝4.
所以b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝1＋32－2×1×4×＝25.∴b＝5.
答案 A
7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是 ( )．
A．100 m B．400 m
C．200 m D．500 m
解析 由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知BD＝h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．
答案 D
8．(2013·泉州质检)△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos C，bcos B，ccos A成等差数列，则角B等于 ( )．
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析 依题意得acos C＋ccos A＝2bcos B，根据正弦定理得sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，则sin(A＋C)＝2sin Bcos B，即sin B＝2sin Bcos B，所以cos B＝，又0°B>C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为 ( )．
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
解析 由题意可设a＝b＋1，c＝b－1.
又∵3b＝20a·cos A，
∴3b＝20(b＋1)·.
整理得，7b2－27b－40＝0.
解得，b＝5，故a＝6，b＝5，c＝4，
即sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．(2013·北京西城二模)在△ABC中，若B＝2A，a∶b＝1∶，则A＝________.
解析 据已知得＝＝＝＝，
即cos A＝，解得A＝30°.
答案 30°
12．(2012·济南模拟)已知sin x＝，x∈，则tan＝________.
解析 ∵sin x＝，x∈，
∴cos x＝－＝－，∴tan x＝－.
∴tan＝＝＝－3.
答案 －3
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b2＋c2－a2)，则A＝________.
解析 S＝×2bccos A＝bcsin A?tan A＝1?A＝.
答案
14．(2012·浙江金华十校联考)在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P.上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°、俯角30°的B处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°、俯角60°的C处，则轮船航行速度是________千米/时．
解析 PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，∠APB＝60°，∠APC＝30°，PA＝1千米，从而BC＝千米，于是速度v＝BC÷＝2(千米/时)．
答案 2
15．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是________．
解析 f(x)＝＋sin 2x＝＋sin，当x∈时，2x－∈，sin∈，所以f(x)max＝＋1＝.
答案
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