湖南大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:选考内容
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在中,,将分成面积相等的两部分,那么( )
A. B. C. D.
【答案】C
2.不等式的解集是( )
A.[-5,7] B.[-4,6]
C. D.
【答案】D
3.已知,若的必要条件是,则 之间的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
4.已知实数满足,,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
5.已知点P的极坐标是(1,),则过点P且垂直于极轴的直线方程是( )
A. B.cos
C. D.
【答案】C
6.不等式的解集非空, 则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
7.若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线 (t为参数)上,则|PF|等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
8.参数方程为表示的曲线是( )
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线 D.两条射线
【答案】D
9.极坐标方程化为直角坐标方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
10.如图,边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形,图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
11.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的 任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
12.在极坐标系中与点重合的点是( )
A. B. C. D.
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.函数的值域是 。
【答案】
14.(几何证明选讲选做题)如图,与⊙相切于点,为的中点,过点引割线交⊙于,两点,若,则 .
【答案】
15.已知数列是等比数列,则行列式____________.
【答案】0
16.如图, 且AB=6,AC=4,AD=12,则AE=____________.
【答案】2
三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.设函数.
(Ⅰ)若解不等式; (Ⅱ)如果,,求的取值范围.
【答案】(1)当时,,由得:,
(法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为.
(法二)不等式可化为或或,
∴不等式的解集为.
(2)若, ,不满足题设条件;
若,,的最小值为;
若,,的最小值为.
所以对于,的充要条件是,从而的取值范围.
(2)另解:
由题,解得
18.如图,圆O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交圆O于N,过N点的切线交CA的延长线于P。
(1)求证:;
(2)若圆O的半径为,OA=OM,求MN的长。
【答案】(1)连结ON,∵ON=OB,∴∠ONB=∠OBN,
∵ PN切圆O于N,∴∠ONP=90°。
∴∠MNP=∠ONP-∠ONB =90°-∠ONB,
∵半径OB垂直于直径AC,
∴∠NMP=∠OMB=90°-∠OBN,
∴∠MNP=∠NMP,∴PN=PM。
因为PN与圆O切于点N,所以,
因此。
(2)∵OA=OM,OA=,∴OM=2。在Rt△OMB中,∠MOB=90°,∴,
,。
根据相交弦定理,得,
∴。
19.已知函数。
(1)当时,求函数的定义域;
(2)若关于的不等式的解集不是空集,求的取值范围。
【答案】(1)当时,,
由题意知函数的定义域等价于不等式>4的解集,
又不等式解集等价于下列三个不等式组解集的并集:
或或,
即或或,所以或。
因此函数的定义域为或。
(2) 不等式,
时,恒有,
所以。
又不等式的解集不是空集,
所以。
从而,即,因此的取值范围是[1,+∞)。
20.求曲线:在矩阵对应的变换下得到的曲线的方程。
【答案】设为曲线上的任意一点,在矩阵A变换下得到另一点,
则有,
即 所以
又因为点P在曲线上,所以,
故有 即所得曲线方程.
21.已知矩阵,向量,求向量,使得.
【答案】
设,从而
解得
22.如图,D,E分别是AB,AC边上的点,且不与顶点重合,已知为方程的两根,
(1)证明 C,B,D,E四点共圆;
(2)若,求C,B,D,E四点所在圆的半径。
【答案】(I)连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。
(Ⅱ)m=4, n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2,AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.
由于∠A=900,故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= (12-2)=5.
故C,B,D,E四点所在圆的半径为5
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