2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
双基达标 ?限时20分钟?
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于 ( )．
A．4 B．5
C．8 D．10
解析 由椭圆的标准方程得a2＝25，a＝5.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
答案 D
2．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是 ( )．
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，
∴点M的轨迹是线段F1F2，故选D.
答案 D
3．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 ( )．
A．a>3
B．a<－2
C．a>3或a<－2
D．a>3或－63或－60是常数)．
又∵|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.
答案 A
8．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于 ( )．
A．5 B．4
C．3 D．1
解析 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由22＋42＝(2)2可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2
×4＝4，故选B.
答案 B
9．若α∈(0，)，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
解析 方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1.
∵椭圆的焦点在y轴上，
∴>>0.
又∵α∈(0，)，
∴sin α>cos α>0，
∴<α<.
答案 (，)
10．椭圆＋＝1的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．
解析 依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，设P点的坐
标为(x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入椭圆
方程＋＝1，得y1＝±，即P点的坐标为(3，±)，
∴|PF2|＝|y1|＝.
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1|＝4－|PF2|＝4－＝，
即|PF1|＝7|PF2|.
答案 7
11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
解 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，
∴·＝0，
而＝(－4＋c，3)，
＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5，0)，F2(5，0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
12．(创新拓展)如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
解 由题意知点M在线段CQ上，
从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，
∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
∵A(1，0)，C(－1，0)，
∴点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝.
故点M的轨迹方程为＋＝1.
【点此下载】