2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
双基达标 ?限时20分钟?
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是 ( )．
A．(2，0) B．(－2，0) C．(4，0) D．(－4，0)
解析 依题意，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，由2p＝8得＝2，故焦点坐
标为(－2，0)，故选B.
答案 B
2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为 ( )．
A．(8，8) B．(8，－8)
C．(8，±8) D．(－8，±8)
解析 设P(xP，yP)，∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，∴xP＝8，yP＝±8，
故选C.
答案 C
3．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ( )．
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
解析 由双曲线方程－＝1，可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，∴该双曲
线右顶点的坐标是(4，0)，∴抛物线的焦点为F(4，0)．设抛物线的标准方程为y2＝
2px(p>0)，则由＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
答案 A
4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
解析 由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
答案 6
5．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________.
解析 抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，代入ax－y＋1＝0，解得a＝－1.
答案 －1
6．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是y＝3；
(2)过点P(－2，4)；
(3)焦点到准线的距离为.
解 (1)由准线方程为y＝3知抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝3，则p＝6，故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y.
(2)∵点P(－2，4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，将点P(－2，4)代入y2＝－2px，得p＝2；代入x2＝2py，得p＝1.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝2y.
(3)由焦点到准线的距离为，得p＝，故所求抛物线的标准方程为y2＝2x，y2＝
－2x，x2＝2y或x2＝－2y.
综合提高（限时25分钟）
7．动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是 ( )．
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
解析 已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛
物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
答案 D
8．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( )．
A．2 B．3 C. D.
解析 直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义
知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题
化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1
的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距
离，即dmin＝＝2，故选择A.
答案 A
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．
解析 由抛物线方程y2＝2px(p>0)，得其准线方程为x＝－，又圆的方程为(x－3)2＋y2
＝16，∴圆心为(3，0)，半径为4.依题意，得3－(－)＝4，解得p＝2.
答案 2
10．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
解析 将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐
标为(0，－1)，－3<－，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，
如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，
过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，|MF|＋|ME|
＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，当且仅当点M在EQ上时取等号，又
|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.
答案 4
11．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 法一 设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
∴＝3，∴p＝6.
∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
法二 设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合P＝{M||MA|＝|MN|}，
即＝|x＋3|，化简，得y2＝12x.
∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.
12．(创新拓展)设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且
(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上除去原点外的不同三点，且成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3，0)时，求点B的坐标．
解 (1)设N(x，y)，由得点P为线段MN的中点，∴P(0，)，
M(－x，0)，
∴＝(－x，－)，＝(1，－)．
由＝－x＋＝0，得y2＝4x.
即点N的轨迹方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1，
∵成等差数列，
∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝.
∵线段AD的中点为(，)，且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3，0)，
∴线段AD的垂直平分线的斜率为k＝.
又kAD＝，∴·＝－1，
即＝－1.
∵x1≠x3，∴x1＋x3＝2，又x2＝，∴x2＝1.
∵点B在抛物线上，∴B(1，2)或(1，－2)．
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