课时提能演练
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC=3∶5，DE=6，则BF等于_______.
2.如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn=________.
3.(2011·广东高考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，E,F分别为AD，BC上的点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为_______.
4.如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=_______.
5.如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=6,点D，E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为_______.
6.已知梯形ABCD的上底AD=8 cm，下底BC=15 cm，在边AB、CD上分别取E、F，使AE∶EB=DF∶FC=3∶2,则EF=_______.
7.如图，BD⊥AE，∠C=90°，AB=4,BC=2,AD=3,则DE=_______;CE=_______.
8.如图，把△ABC沿着AB方向平移到△A′B′C′位置，它们的重合部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是_____.
9.(2011·陕西高考)如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=________.
10.如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB=BC=CD,AE=12,DH=16，AH交BF于M，则BM=_______,CG=_______.
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15,CH⊥AB于H，且BH=16，则△ABC的面积是_______.
12.如图，在△ABC中，BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC，过点B作CA的垂线，交CA延长线于点E，交DA延长线于点F，则AF=________.
13.在直角三角形中，两条直角边在斜边上的射影分别为4 cm和9 cm，则它的较短直角边的长是______ cm.
14.如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，在B时又测得该树的影长为8 m.若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_______ m.
15.如图，在梯形ABCD中，AB=3,DC=9,BC=4,AD=6，EF∥AB,且梯形AEFB与梯形EDCF的周长相等，则AE∶ED=_______.
16.如图，在Rt△ABC中，AF是斜边BC上的高，且BD=DC=FC=1，则AC=_____.
17.如图，梯形ABCD中，点E是DC延长线上一点，AE分别交BD于点G，交BC于点F，则下列结论中:
①;②;③;
④.其中正确结论的序号是_______.
18.(2011·中山模拟)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=______ .
19.在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则=_______.
20.如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD相交于点O，直线AO与DE交于点N，与BC交于点M.若DN∶MC=1∶4，则NE∶BM=_______,AE∶EC=_______.
21.如图，四边形ABCD为正方形，A、E、F、G在同一条直线上，且AE=6，EF=4，那么FG=_______.
22.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=3,过点A作AD⊥BC，垂足为点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，则DE=_______.
23.如图，已知AD∥EG∥BC,AD=6，BC=9,，则GF的长为_______.
24.(2012·三亚模拟)如图所示，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他的影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是______米.
25.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形DBCE=1∶3，那么AD∶AB等
于_______.
26.在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，矩形的面积为
40 cm2,S△ABE∶S△DBA=1∶5，则AE的长为______ cm.
27.在△ABC中，AD是角平分线，AB-AC=5，BD-CD=3，DC=8，则AB=______.
28.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的点C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是________.
29.(2012·顺德模拟)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD、AC相交于O.过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EF∥BC，若AD=12，BC=20，且AO∶OC=3∶5，则EF=________.
30.如图，点D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B.若AD=6,AB=10,BD=8，则CD的长为______.
答案解析
1.【解题指南】解决本题可利用DE∥BC，DF∥AC推出比例式，再通过比例式之间的相互转化，即可求出BF.
【解析】由DE∥BC,得
∵DE=6,∴BC=10.
又∵DF∥AC,∴
∴BF=4.
答案：4
2.【解析】∵正方形ABCD的边长为1，∴AB=1,AC=,
∴AE=AO1=,∴AO2=AB=,∴S2=,S3=,S4=，…，依此规律,
∴第n个正方形的面积Sn=.
答案：
3.【解题指南】延长AD、BC,构造相似三角形，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解.
【解析】延长AD、BC相交于点G.由已知得△GAB∽△GDC，△GEF∽△GDC,所以
=4，，从而
S梯形ABCD=3S△GCD,S梯形EFCD=,所以梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为3∶=12∶5,从而得梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7∶5.
答案：7∶5
4.【解析】∵a∥b∥c,
∴即
∴DF=4.5.
∴BF=BD+DF=7.5.
答案：7.5
5.【解析】∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处,
∴AE=A′E,∠AED=∠A′ED=90°,
∴△ABC∽△ADE,
∵A′为CE的中点，∴AE=AC.
∴,∴DE=2.
答案：2
6.【解析】∵,∴EF∥BC∥AD.
∵AE∶EB=3∶2，∴AE∶AB=3∶5，
∴EP∶BC=3∶5.∵BC=15 cm，
∴EP=9 cm.同理PF=3.2 cm.
∴EF=12.2 cm.
答案：12.2 cm
7.【解析】依题意得△ADB∽△ACE,∴,
∴AD·AE=AC·AB,即AD(AD+DE)=AC·AB，
∴DE==5.
∴DB=.
∵,∴EC=.
答案：5
8.【解析】由题意，知两个三角形的重叠部分是与△ABC相似的三角形，
∴.
∵AB=,∴A′B=1,∴AA′=-1.
答案：-1
9.【解题指南】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解.
【解析】∵AE⊥BC，∴∠AEB=∠ACD=90°.
又∵∠B=∠D，∴△AEB∽△ACD，
∴，∴AE==2.
在Rt△AEB中，BE=.
答案：
10.【解析】∵AE∥BF∥CG∥DH,
AB=BC=CD,AE=12,DH=16,
∴,,
∴,∴BM=4.
取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于点Q，如图,
则PQ是梯形ADHE的中位线,
∴PQ=(AE+DH)
=(12+16)=14.
同理CG=(PQ+DH)=(14+16)=15.
答案：4 15
11.【解析】如图，∠C=90°,
由CH⊥AB,
得AC2=AH·AB,
即152=(AB-16)·AB=AB2-16AB,
整理，得AB2-16AB-225=0，
解得AB=25或AB=-9(舍去),
∴BC==20，
∴S△ABC=×15×20=150.
答案：150
12.【解析】设AE=x.∵∠BAC=120°,∴∠EAB=60°.又∵AE⊥EB,
∴AB=2x,BE=,
∴.
在Rt△AEF与Rt△BEC中，
∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,
∴△AEF∽△BEC,∴,
∴AF=4×=.
答案：
13.【解析】设在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,AD=4,BD=9,∴AB=4+9=13.
由射影定理，得AC2=AD·AB=4×13,
∴AC=.
答案：
14.【解析】如图，在Rt△CDE中，EF⊥CD.
由射影定理，得EF2=CF·DF=2×8=16,∴EF=4.
答案：4
15.【解题指南】解决本题可通过作辅助线把梯形的周长关系进行转化，从而求解.
【解析】过点A作AG∥BC，交EF于点H，交DC于点G.易证△AEH与梯形EHGD的周长相等,
故. ①
AE+AH=(6-AE)+6+(4-AH), ②
由①②可得AE=,
∴DE=6-,
∴AE∶ED==4∶1.
答案：4∶1
16.【解析】设AC=x,则
AD=x-1,AF=.
由射影定理，得AF2=BF·FC，
∴x2-1=BF·1=BF.
由勾股定理，得
AB2=BF2+AF2=(x2-1)2+x2-1
=x4-x2.
又∵AB2+AD2=BD2，∴x4-x2+(x-1)2=1,
∴x4-2x=0，而x≠0，∴x=.
答案：
17.【解析】∵CF∥AD,
∴,,所以①④正确.
又∵BF∥AD，∴,所以②正确.
答案：①②④
18.【解析】连接BD,DE，则四边形EBCD为矩形，
∴DE⊥AB且EB＝DC＝，∵AB=a,∴AE=EB=,∴△ABD是以AB为底的等腰三角形，∴ DA= DB=a.又∵点E，F分别为线段AB，AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=.
答案：
19.【解析】∵EF∥BC,∴. ①
∵FG∥AD,∴. ②
①+②,得=1.
答案：1
20.【解析】∵DE∥BC,
∴,
∴,
∴.
又∵,∴.
∴AE∶EC=1∶3.
答案：1∶4 1∶3
21.【解析】∵DF∥AB,∴,
∴.
又∵CF∥AB，∴,即,
解得FG=5.
答案：5
22.【解析】由勾股定理，得
BC==5.
由射影定理,得
CD=.
由三角形面积相等,得
AD=.
又由三角形面积相等,得DE=.
答案：
23.【解析】∵AD∥EG∥BC,
∴,.
∵,∴,
∴.
又∵AD=6,BC=9,∴EF=2,EG=6,
∴GF=EG-EF=4.
答案：4
24.【解析】由题意，知CD∥BE,∴△ACD∽△ABE,
∴.
∵AC=2米，BC=8米,
∴AB=10米.
又∵CD=1.6米,
∴.
∴BE=8米.
答案：8
25.【解析】∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.
∵S△ADE∶S四边形DBCE=1∶3,
∴S△ADE∶S△ABC=1∶4,
∴AD∶AB=1∶2.
答案：1∶2
26.【解析】∵S△ABE∶S△DBA=1∶5,
∴S△ABE∶S矩形ABCD=1∶10,
∴S△ABE=S矩形ABCD=×40=4(cm2).
由△ABE∽△DAE易证相似比为1∶2，
即BE∶AE=1∶2.
设BE=x cm,则AE=2x cm,
∴x·2x=4,解得x=2(已舍去负值).
∴AE=4 cm.
答案：4
27.【解析】∵BD-CD=3，DC=8，∴BD=11.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴，即，∴8AB=11AC.
解方程组，得AB=.
答案：
28.【解析】由勾股定理，得AC=10,
∵C′D∥BC,∴,
即,
解得CD=.
答案：
29.【解析】∵OE∥BC,∴,∴OE=.
∵OF∥AD,∴,∴OF=.
∴EF=OE+OF==15.
答案：15
30.【解析】∵BD2+AD2=82+62=102=AB2,
∴∠ADB=90°.
又∵∠CAD=∠B,∠B+∠BAD=90°,
∴∠BAD+∠CAD=90°,即∠BAC=90°.
由射影定理，得AD2=BD·DC,
∴CD=.
答案：
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