课时提能演练
1.如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′，如果AB=BC=1，A′B′=，则B′C′=________.
2.如图，已知D、E、F分别是△ABC三边BC、CA、AB的中点，△DEF与△ABC的面积之比为___________.
3.(2011·广东高考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，E,F分别为AD，BC上的点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为______.
4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，且=2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是__________.
5.如图，∠C=90°，∠A＝30°，E是AB中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是_________.
6.已知梯形ABCD的上底AD=8 cm，下底BC=15 cm，在边AB、CD上分别取E、F，使AE∶EB=DF∶FC=3∶2,则EF=____________.
7.如图，在△ABC和△DBE中，，若△ABC与△DBE的周长之差为10 cm，则△ABC的周长为_________.
8.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A,BC=,AC=3,则CD=______.
9.(2011·陕西高考)如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=____________.
10.如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB=BC=CD,AE=12,DH=16，AH交BF于M，则BM=
______,CG=________.
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15,CH⊥AB于H，且BH=16，则△ABC的面积是___________.
12.如图，△ABC中， BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC，过B作CA的垂线，交CA延长线于E，交DA延长线于F，则AF=__________.
13.如图，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论:
①△AOB∽△COD;
②△AOD∽△ACB;
③S△DOC∶S△AOD=CD∶AB;
④S△AOD=S△BOC.
其中正确的是______________.
14.如图，∠1=∠B,AD=5,AB=10，则AC的长度为___________.
15.如图，梯形ABCD中，AB=3,DC=9,BC=4,AD=6，EF∥AB,且梯形AEFB与梯形EDCF的周长相等，则AE∶ED=____________.
16.如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么
△MON与△AOC面积的比是________.
17.如图，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE交BD于G，交BC于F，则下列结论中:①;②;③;④.其中正确结论的序号是______________.
18.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=________.
19.在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则=________.
20.如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD相交于点O，直线AO与DE交于N，与BC交于M，若DN∶MC=1∶4，则NE∶BM=_______,AE∶EC=_________.
21.如图，ABCD为正方形，A、E、F、G在同一条直线上，且AE=6，EF=4，那么FG=___________.
22.在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=3,过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE=________.
23.如图，已知AD∥EG∥BC,AD=6，BC=9,，则GF的长为______.
24.(2012·邵阳模拟)如图所示，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他的影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是_______米.
25.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，且S△ADE∶
S四边形DBCE=1∶3，那么AD∶AB等于________.
26.在△ABC中，AC=6,BC=4,BA=9,△ABC∽△A′B′C′,△A′B′C′最短边为12，则它的最长边的长度为________.
27.在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，矩形的面积为40 cm2,S△ABE∶S△DBA=1∶5，则AE的长为_________ cm.
28.如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形：____________.
29.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是__________.
30.(2012·常德模拟)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD、AC相交于O.过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EF∥BC，若AD=12，BC=20，且AO∶OC=3∶5，则EF=___________.
答案解析
1.【解析】∵a∥b∥c,
∴
又∵A′B′=,∴B′C′=.
答案：
2.【解析】∵D、E、F分别是△ABC三边BC、CA、AB的中点，
∴EF=BC，ED=BA,FD=CA,
∴,
∴△DEF与△ABC的三边对应成比例，
∴△DEF∽△ABC,
∴△DEF与△ABC的面积之比为1∶4.
答案：1∶4
3.【解题指南】延长AD、BC后，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解.
【解析】延长AD、BC相交于点G.由已知得△GAB∽△GDC，
△GEF∽△GDC,所以=4，=，从而S梯形ABCD=
3S△GCD,S梯形EFCD=S△GCD,所以梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为3∶=12∶5,从而得梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7∶5.
答案：7∶5
4.【解析】∵=2,∴,
又DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴,
∴.
答案：4∶5
5.【解析】∵E为AB中点，
∴,即AE=AB，
在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=AB,
又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为.
故△ADE与△ABC的相似比为1∶.
答案：1∶
6.【解析】因为,
所以EF∥BC∥AD,
因为AE∶EB=3∶2， 所以AE∶AB=3∶5，
所以EP∶BC=3∶5， 因为BC=15 cm，
所以EP=9 cm，同理PF=3.2 cm，
所以EF=12.2 cm.
答案：12.2 cm
7.【解析】∵在△ABC和△DBE中，，
∴△ABC∽△DBE，相似比等于，
设△ABC的周长为x cm，则△DBE的周长为x cm,
又△ABC与△DBE的周长之差为10 cm,
即x-x=10,
解得x=25,即△ABC的周长为25 cm.
答案：25 cm
8.【解析】因为∠DBC=∠A,
∠C=∠C,
所以△CDB∽△CBA,所以,
即,
所以CD=2.
答案：2
9.【解题指南】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解.
【解析】因为AE⊥BC，所以∠AEB=∠ACD=90°，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以，所以AE= =2，
在Rt△AEB中，BE=.
答案：
10.【解析】∵AE∥BF∥CG∥DH,
AB=BC=CD,AE=12,DH=16,
∴
∴,
∴BM=4,
取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于点Q，如图,
则PQ是梯形ADHE的中位线,
∴PQ=(AE+DH)
=(12+16)=14.
同理：CG=(PQ+DH)=(14+16)=15.
答案：4 15
11.【解析】如图，∠C=90°,由CH⊥AB,
得AC2=AH·AB,
即152=(AB-16)·AB=AB2-16AB,
即AB2-16AB-225=0?(AB-25)(AB+9)=0,
∴AB=25或AB=-9(舍去),
∴BC= =20，
∴S△ABC=×15×20=150.
答案：150
12.【解析】设AE=x,∵∠BAC=120°,∴∠EAB=60°,
又AE⊥EB,
∴AB=2x,BE=x,
∴=
在Rt△AEF与Rt△BEC中，
∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,
∴△AEF∽△BEC,
∴,
∴AF=4×.
答案：
13.【解析】∵ DC∥AB,∴△AOB∽△COD,①正确.
由①知，,
S△DOC∶S△AOD=OC∶OA=CD∶AB,③正确.
∵S△ADC=S△BCD,
∴S△ADC-S△COD=S△BCD-S△COD,
∴S△AOD=S△BOC，④正确.
答案：①③④
14.【解析】在△ACD和△ABC中，∠1=∠B,∠A为公共角，∴△ACD∽△ABC，
∴,即AC2=AD·AB=5×10=50,
∴AC=.
答案：
15.【解题指南】解决本题可通过作辅助线把梯形的周长关系转化为三角形的周长关系，从而求解.
【解析】过A作AG∥BC，交EF于H，交DC于G.易证△AEH与梯形EHGD的周长相等,
故. ①
AE+AH=(6-AE)+6+(4-AH), ②
由①②可得AE=,
∴DE=6-,
∴AE∶DE==4∶1.
答案：4∶1
16.【解析】∵M、N分别是AB、BC的中点,
∴MN∥AC，且MN∶AC=1∶2,
∴△MON∽△AOC,
∴其面积比等于MN2∶AC2=1∶4.
答案：1∶4
17.【解析】∵CF∥AD,
∴所以①④正确.
又∵BF∥AD，∴,所以②正确.
答案：①②④
18.【解析】连接BD,DE，则四边形EBCD为矩形，
所以DE⊥AB且EB＝DC＝，∵AB=a,∴AE=EB=,所以△ABD是以AB为底的等腰三角形，
即： DA= DB=a，又点E，F分别为线段AB，AD的中点，所以 EF为△ABD的中位线，所以 EF=DB=.
答案：
19.【解析】∵EF∥BC,∴ ①
∵FG∥AD,∴ ②
①+②得: =1.
答案：1
20.【解析】∵DE∥BC,
∴,
∴,
∴.
又,∴.
∴AE∶EC=1∶3.
答案：1∶4 1∶3
21.【解析】∵DF∥AB,∴,
∴,
又∵CF∥AB，∴,即,
∴FG=5.
答案：5
22.【解析】由勾股定理得：BC= =5,
由射影定理得:CD=，
由三角形面积相等得：AD=.
又由三角形面积相等得：DE=.
答案：
23.【解析】∵AD∥EG∥BC,
∴.
∵,∴,,
∴.
又∵AD=6,BC=9,
∴EF=2,EG=6,
∴GF=EG-EF=4.
答案：4
24.【解析】由题意，知CD∥BE.
∴△ACD∽△ABE,
∴.
∵AC=2米，BC=8米,
∴AB=10米.
又∵CD=1.6米,
∴.
∴BE=8米.
答案：8
25.【解析】∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∵S△ADE∶S四边形DBCE=1∶3,
∴S△ADE∶S△ABC=1∶4,
∴AD∶AB=1∶2.
答案：1∶2
26.【解析】因为△ABC∽△A′B′C′，AC=6，BC=4，BA=9， 所以△A′B′C′的最短边是B′C′，最长边是A′B′，，即，所以A′B′=27.
答案：27
27.【解析】∵S△ABE∶S△DBA=1∶5,
∴S△ABE∶S矩形ABCD=1∶10,
∴S△ABE=S矩形ABCD=×40=4(cm2).
由△ABE∽△DAE易证相似比为1∶2，
即BE∶AE=1∶2,
设BE=x cm,则AE=2x cm,
∴x·2x=4,
∴x=2,
∴AE=4 cm.
答案：4
28.【解析】由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE=∠A，
故Rt△ACE∽Rt△FBE.
答案：△FCD、△FBE、△ABD
29.【解析】由勾股定理，得AC=10,
∵C′D∥BC,∴,
即,
∴CD=.
答案：
30.【解析】∵OE∥BC,∴,
∴OE=,
∵OF∥AD,∴,∴OF=.
∴EF=OE+OF==15.
答案：15
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