课时提能演练 1.若点
在经过伸缩变换：x轴单位长度变为原来的2倍，y轴单位长度变为原来的3倍，后为点A′.则A′在原坐标系的坐标为________. 2.(2012·广州模拟)圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为________，该圆的面积为_______. 3.极坐标系中，圆ρ=5cosθ-5
sinθ的圆心坐标是______. 4.在曲线ρ=
上，极角为
的点的直角坐标是______. 5.极坐标系中，ρ≥0，过极点且倾斜角为
的直线的极坐标方程为_______. 6.(2012·浏阳模拟)在极坐标系中，若直线l的方程是ρsin(θ+
)=1,点P的坐标为(2，π)，则点P到直线l的距离d=_______. 7.在极坐标系中，点A(2,
)关于直线l:ρcosθ=1的对称点的一个极坐标为_______. 8.(2012·深圳模拟)在极坐标系中，曲线ρ=4cosθ与ρcosθ=4的交点为A，点M的坐标为(2，
)，则线段AM的长为_______. 9.限定ρ≥0,0≤θ＜2π,若点M的直角坐标是(1,
)，则点M的极坐标为_______. 10.正弦曲线y=sinx进行如下伸缩变换：x轴单位长度为原来的
，y轴单位长度为原来的3倍，则变换后的图像在原坐标系中的方程的振幅为________，最小正周期为_______. 11.(2012·湛江模拟)在极坐标系中，点(1，0)到直线ρ(cosθ+sinθ)=2的距离为_______. 12.在极坐标系中，O为极点，设点A(4，
),B(5,
),则△OAB的面积为______. 13.在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρcosθ-2=0，直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极坐标方程是_______. 14.极坐标系下，直线ρcos(θ-
)=
与圆ρ=
的公共点个数是_______. 15.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合，曲线C的直角坐标方程x2+y2-x-
y=0化为极坐标方程为________. 16.极坐标系中，曲线ρ=-4sinθ和直线ρcosθ=1相交于点A,B，则|AB|＝___. 17.在极坐标系中，曲线ρ(cosθ+sinθ)=1与ρ(sinθ-cosθ)=1(θ∈［0, 2π))的交点的极坐标为________. 18.在极坐标系中，直线l的方程为3ρsinθ-4ρcosθ=2,则点
到直线l的距离为________. 19.直线3x-4y+5=0经过变换
后，坐标没变化的点为________. 20.(2011·江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________. 21.若直线ρsin(θ-
)=
a, a∈R被圆ρ=-4sinθ截得的弦长为
，则a=________. 22.曲线ρ=2cosθ关于直线θ=
对称的曲线的极坐标方程为________. 23.在极坐标系中，直线ρcos(θ+
)=1被曲线ρ=3所截得的弦长为________. 24.两圆ρ=2cosθ,ρ=2sinθ的公共部分的面积等于________. 25.极坐标方程ρ2cos2θ=1表示曲线的焦点的极坐标分别是________. 26.在极坐标系中，点(2,
)到直线ρsinθ=3的距离为________. 27.(2012·深圳模拟)在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ+sinθ)=4上任意一点，Q是圆C：ρ2=4ρcosθ-3上任意一点，则|PQ|的最小值是________. 28.极坐标系中，若O是极点，A(3，
)，B(3，
)，则|AB|=____________， S△OAB=____________. 29.在极坐标系中，已知O为极点，点A(4，
)，B(5，θ)，θ∈［0,2π)，则使△OAB的面积最大的θ=________. 30.在极坐标系中，由三条直线θ=0，θ=
，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是________. 答案解析 1.【解析】设A′(x′,y′)，根据以上变换可知x′=2x,y′=3y, ∴x′=1,y′=2.∴A′(1,2) 答案：(1，2) 2.【解析】将方程两边都乘以ρ得：ρ2=2ρcosθ, 化成直角坐标方程为x2+y2-2x=0， 半径为1，面积为π. 答案：x2+y2-2x=0 π 3.【解析】圆的方程可化为ρ2=5ρcosθ-
ρsinθ， 由
得x2+y2=5x-
y， 即x2-5x+y2+
y=0， 整理得
. ∴圆心坐标为
,化为极坐标为(-5,
). 答案：(-5,
) 4.【解析】曲线的直角坐标方程为x=3,又点在x=3上，其极角为
，所以其直角坐标为(3，
). 答案：(3，
) 5.【解题指南】当ρ≥0时，极坐标方程θ=α表示一条射线； 当ρ∈R时，极坐标方程θ=α表示一条直线. 而此处ρ≥0,故过极点倾斜角为
的直线的极坐标方程有两部分. 【解析】以极点O为端点，所求直线上点的极坐标分成两条射线，两条射线的极坐标方程分别为θ=
和θ=
(ρ≥0)，所以过极点倾斜角为
的直线的极坐标方程为θ=
和θ=
(ρ≥0). 答案：θ=
和θ=
(ρ≥0) 6.【解析】直线l的平面直角坐标系的方程为： x+
y-2=0,P点的平面直角坐标为(-2，0)， ∴点P到直线l的距离为
. 答案：2 7.【解题指南】建立直角坐标系，由公式
将点的极坐标和直线的极坐标方程分别化为直角坐标和直角坐标方程，求得对称点的直角坐标，再利用公式
化为极坐标. 【解析】以极点为原点，极轴所在直线为x轴， 建立平面直角坐标系，两坐标系取相同的单位长度，则由公式
， 点A(2,
)的直角坐标为(0,2)， 直线l:ρcosθ=1的直角坐标方程为x=1， 点(0,2)关于直线l:x=1对称点的坐标为(2,2)，利用公式
， 得ρ2=x2+y2=8，tanθ=
=1，因为角θ的终边过点(2,2)，故θ=
，所以点的直角坐标(2,2)化为极坐标为(
). 答案：(
) 8.【解析】曲线ρ=4cosθ与ρcosθ=4的普通方程为(x-2)2+y2=4与x=4，则交点A为(4,0)，M点的平面直角坐标为(1，
)，则|AM|=
. 答案：
9.【解析】∵ρ=
,
, 且点(1,-
)在第四象限，∴θ=
. 答案：(2,
) 10.【解析】根据以上变换可知，变换后的图像在原坐标系中的方程为y=3sin2x，故振幅为3，最小正周期为π. 答案:3 π 11.【解析】直线ρ(cosθ+sinθ)=2的直角坐标方程为x+y-2=0，极坐标(1，0)的直角坐标为(1,0)，点(1,0)到该直线的距离为d=
. 答案：
12.【解析】点B(5,
)即B(5,
),且点A(4,
), ∴∠AOB=
,所以△OAB的面积为S=
·OA·OB·sin∠AOB=
×4×5×sin
=
×4×5×
=5. 答案：5 13.【解析】直线l:ρcosθ-2=0的直角坐标方程是x=2, 直线l与x轴相交于点M(2,0), 以OM为直径的圆的直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0, 化为极坐标方程是ρ2-2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ. 答案：ρ=2cosθ 14.【解析】直线方程ρcos(θ-
)=
， 即ρ(
cosθ+
sinθ)=
， 所以直角坐标方程为x+y-2=0. 圆的方程ρ=
，即ρ2=2， 所以直角坐标方程为x2+y2=2， 因为圆心到直线的距离为d=
=r， 所以直线与圆相切，即公共点个数是1. 答案：1 15.【解析】由x2+y2-x-
y=0得ρ2=
ρsinθ+ρcosθ， ∴ρ=
sinθ+cosθ， 得ρ=2cos(θ-
). 答案：ρ=2cos(θ-
) 16.【解析】由ρ=-4sinθ得ρ2=-4ρsinθ，于是在平面直角坐标系中，曲线ρ=-4sinθ的直角坐标方程为x2+y2=-4y.∴x2+(y+2)2=4. 而ρcosθ=1表示直线x=1，与曲线有两个交点，代入上式得(y+2)2=3，解得y1=-2+
,y2=-2-
. 易知|AB|＝2
. 答案：2
17.【解析】曲线ρ(cosθ+sinθ)=1与ρ(sinθ-cosθ)=1的直角坐标方程分别为x+y=1和y-x=1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为 (1,
). 答案：(1,
) 18.【解析】由公式
得，直线l的普通方程为3y-4x=2,即4x-3y+2=0,点(
)的直角坐标为(1,-1)，该点到直线l的距离为
. 答案：
19.【解析】设P(x,y)为直线3x-4y+5=0上任意一点，经过变换
后的对应点为P′(x′,y′), 将
代入3x-4y+5=0，得x′-2y′+5=0, 即变换后的直线方程为x-2y+5=0, 解方程组
，得
, 所以直线变换后坐标没变化的点为(5，5). 答案：(5,5) 20.【解析】∵ρ=2sinθ+4cosθ,∴ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ, 将ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,ρcosθ=x,代入得： x2+y2=2y+4x，即x2+y2-2y-4x=0. 答案：x2+y2-2y-4x=0 21.【解析】直线ρsin(θ-
)=
, a∈R与圆ρ=-4sinθ的直角坐标方程分别为y=x+2a，x2 +(y+2)2=4，圆心C(0，-2)到直线x-y+2a=0的距离为d=
， 由于直线ρsin(θ-
)=
, a∈R被圆ρ=-4sinθ截得的弦长为
，依题意，得
，即d2=r2-2，∴d2=2，(1+a)2=1，解得a=0或-2. 答案：0或-2 22.【解析】曲线ρ=2cosθ与直线θ=
在直角坐标系中对应的方程分别为x2+y2=2x与y=x. ∴x2+y2=2x关于y=x对称的曲线方程为x2+y2=2y,它的极坐标方程为ρ=2sinθ. 答案：ρ=2sinθ 23.【解析】曲线ρ=3与直线ρcos(θ+
)=1的直角坐标方程分别为x2+y2=9与x-y=
, 圆心到直线的距离为d=
=1,所以直线截圆的弦长为
. 答案：
24.【解析】两圆ρ=2cosθ,ρ=2sinθ的直角坐标方程分别为x2+y2-2x=0, x2+y2-2y=0，交点坐标为O(0,0),A(1,1),两圆公共部分的面积等于
. 答案：
25.【解析】由ρ2cos2θ=1得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ=1.利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ化为直角坐标方程为x2－y2=1，所以方程表示双曲线,∵c2 =a2+b2=2, ∴c=
,所以双曲线的焦点坐标分别为(
,2kπ)、(
,2kπ+π)(k∈Z). 答案：(
,2kπ)、(
,2kπ+π)(k∈Z) 26.【解析】该直线对应的直角坐标系下的方程为y－3=0，而点(2，
)对应的直角坐标系下的坐标为(
，1)，进而求得点到直线的距离为2. 答案：2 27.【解析】化为直角坐标系方程得，l：x+y-4=0, C:(x-2)2+y2=1, 则圆心C到直线l的距离为d=
,所以|PQ|min=
-1. 答案：
-1 28.【解析】在极坐标系中画出点A、B，易得∠AOB=
.在△OAB中，由余弦定理，得|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|cos∠AOB. ∴|AB|=
, S△OAB=
|OA|·|OB|·sin∠AOB =
×3×3×sin
π=
. 答案：

29.【解析】依题意，△OAB的面积为S=
·|OA|·|OB|·|sin(θ-
)|≤
×4×5=10. 当且仅当θ-
=
或
，即θ=
或
时， Smax=10. 答案：
或
30.【解析】因为三条直线θ=0，θ=
，ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为y=0(x≥0)，y=
x(x≥0)，x+y=1，将x=
y代入x+y=1解得y=
. 那么结合图形可知，这三条直线(或射线)θ=0，θ=
，ρcosθ+ρsinθ=1围成的三角形的面积是S=
×1×
=
. 答案：

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