课时提能演练 1.若点A在伸缩变换φ:
后得到点A′（1,2），则点A的坐标为_____. 2.将圆x2+y2=1经过伸缩变换
后的曲线方程为______. 3.在极坐标系中，设P是直线l: ρ(cosθ+sinθ)=4上任意一点，Q是圆C: ρ2=4ρcosθ-3上任意一点，则|PQ|的最小值为______. 4.在极坐标系中，已知点A(1,
),B(2,
),则|AB|=______. 5.极坐标系中，ρ≥0，过极点且倾斜角为
的直线的极坐标方程为______. 6.在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的圆心到直线ρcosθ=2的距离是______. 7.在极坐标系中，点A(2,
)关于直线l:ρcosθ=1的对称点的一个极坐标为______. 8.已知直线的极坐标方程为ρsin（θ+
）=
，则极点到该直线的距离为_____. 9.限定ρ≥0,0≤θ＜2π,若点M的直角坐标是(1,
)，则点M的极坐标为______. 10.将正弦曲线y=sinx按伸缩变换
后得到曲线方程的振幅为______,最小正周期为______. 11.（2012·怀化模拟）在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ(cosθ+sinθ)=2的距离为______. 12.在极坐标系中，O为极点，设点A（4，
),B(5,
),则△OAB的面积为______. 13.在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρcosθ-2=0，直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极坐标方程是______. 14.极坐标系下，直线ρcos(θ-
)=
与圆ρ=
的公共点个数是______. 15.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合，曲线C的直角坐标方程x2+y2-x-
y=0化为极坐标方程为_____. 16.极坐标系中，曲线ρ=-4sinθ和直线ρcosθ=1相交于点A,B，则|AB|＝______. 17.在极坐标系中，曲线ρ(cosθ+sinθ)=1与ρ(sinθ-cosθ)=1(θ∈ ［0,2π))的交点的极坐标为_____. 18.（2012·常德模拟）在极坐标系中，直线l的方程为3ρsinθ-4ρcosθ=2,则点（
，
)到直线l的距离为______. 19.（2012·邵阳模拟）直线3x-4y+5=0经过变换
后，坐标没变化的点为______. 20.（2011·江西高考）若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为______. 21.若直线ρsin（θ-
）=
a, a∈R被圆ρ=-4sinθ截得的弦长为
，则a=______. 22.极坐标系中，已知点A（6,
）,则点A到极轴的距离为______,点A关于极轴所在直线的对称点的一个极坐标为______. 23.在极坐标系中，直线ρcos(θ+
)=1被曲线ρ=3所截得的弦长为______. 24.两圆ρ=2cosθ,ρ=2sinθ的公共部分的面积等于______. 25.极坐标方程ρ2cos2θ=1表示曲线的焦点的极坐标分别是______. 26.在极坐标系中，点(2,
）到直线ρsinθ=3的距离为______. 27.已知圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，则圆心的直角坐标是______；半径长为______. 28.极坐标系中，若O是极点，A（3，
），B（3，
），则|AB|=______，S△OAB=______. 29.在极坐标系中，已知O为极点，点A（4，
），B（5，θ），θ∈［0,2π)， 则使△OAB的面积最大的θ=______. 30.在极坐标系中，由三条直线θ=0，θ=
，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是______. 答案解析 1.【解析】设点A（x,y）在伸缩变换φ:
后得到点A′（2x,3y），由题意，得
解得
则点A的坐标为（
）. 答案：（
） 2.【解析】由
得
代入x2+y2=1得
即
为所求. 答案：
3.【解析】直线l: ρ(cosθ+sinθ)=4的直角坐标方程为x+y=4， 圆C:ρ2=4ρcosθ-3的直角坐标方程为x2+y2=4x-3， 标准方程为(x-2)2+y2=1． 圆心C （2,0）到直线l的距离d=
所以|PQ|min=
-1． 答案：
-1 4.【解析】由于
与
的终边互为反向延长线，即A,O,B三点共线，所以|AB|=|AO|+|OB|=1+2=3. 答案：3 5.【解题指南】当ρ≥0时，极坐标方程θ=α表示一条射线；当ρ∈R时，极坐标方程θ=α表示一条直线. 而此处ρ≥0,故过极点倾斜角为
的直线的极坐标方程有两部分. 【解析】以极点O为端点，所求直线上点的极坐标分成两条射线，两条射线的极坐标方程分别为θ=
和θ=
(ρ≥0)，所以过极点倾斜角为
的直线的极坐标方程为θ=
和θ=
(ρ≥0). 答案：θ=
和θ=
(ρ≥0) 6.【解析】在极坐标系中，圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，所以圆的直角坐标方程为x2+y2-2x=0，标准方程为(x-1)2+y2=1，直线ρcosθ=2的直角坐标方程为直线x=2. 所以圆心到直线的距离是d=1. 答案：1 7.【解题指南】建立直角坐标系，由公式
将点的极坐标和直线的极坐标方程分别化为直角坐标和直角坐标方程，求得对称点的直角坐标，再利用公式
化为极坐标. 【解析】以极点为原点，极轴所在直线为x轴， 建立平面直角坐标系，两坐标系取相同的单位长度，则由公式
，点A(2,
）的直角坐标为（0,2）， 直线l:ρcosθ=1的直角坐标方程为x=1， 点（0,2）关于直线l:x=1对称点的坐标为（2,2），利用公式
，得ρ2=x2+y2=8，tanθ=
=1，因为角θ的终边过点（2,2），故θ=
，所以点的直角坐标（2,2）化为极坐标为(
,
). 答案：(
,
) 8.【解析】直线ρsin(θ+
)=
的直角坐标方程为x+y=1,极点即直角坐标原点(0,0)到该直线的距离为
. 答案：
9.【解析】∵ρ=
tanθ=
=
,且点(1,
)在第四象限，∴θ=
答案：(2,
) 10.【解析】由
得
代入曲线y=sinx,得y′=3sin2x′,即y=3sin2x,故振幅为3，最小正周期为π. 答案:3 π 11.【解析】直线ρ(cosθ+sinθ)=2的直角坐标方程为x+y-2=0，极坐标（1，0）的直角坐标为(1,0)，点(1,0)到该直线的距离为
答案：
12.【解析】点B(5,
)即B(5,
),且点A(4,
), ∴∠AOB=
-
=
,所以△OAB的面积为S=
·|OA|·|OB|·sin∠AOB=
×4×5×sin
=
×4×5×
=5. 答案：5 13.【解析】直线l:ρcosθ-2=0的直角坐标方程是x=2, 直线l与x轴相交于点M(2,0), 以OM为直径的圆的直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0, 化为极坐标方程是ρ2-2ρcosθ=0, 即ρ=2cosθ. 答案：ρ=2cosθ 14.【解析】直线方程ρcos(θ-
)=
， 即
所以直角坐标方程为x+y-2=0. 圆的方程ρ=
，即ρ2=2， 所以直角坐标方程为x2+y2=2， 因为圆心到直线的距离为
所以直线与圆相切，即公共点个数是1. 答案：1 15.【解析】由x2+y2-x-
y=0得ρ2=
ρsinθ+ρcosθ， ∴ρ=
sinθ+cosθ，得ρ=2cos(θ-
). 答案：ρ=2cos (θ-
) 16.【解析】由ρ=-4sinθ得ρ2=-4ρsinθ，于是在平面直角坐标系中，曲线 ρ=-4sinθ的直角坐标方程为x2+y2=-4y.∴x2+(y+2)2=4. 而ρcosθ=1表示直线x=1，与曲线有两个交点，代入上式得(y+2)2=3，解得y1=-2+
,y2=-2-
. 易知|AB|＝2
. 答案：2
17.【解析】曲线ρ(cosθ+sinθ)=1与ρ(sinθ-cosθ)=1的直角坐标方程分别为x+y=1和y-x=1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1,
). 答案：(1,
) 18.【解析】由公式
得，直线l的普通方程为3y-4x=2,即4x-3y+2=0,点(
,
)的直角坐标为(1,-1)，该点到直线l的距离为
答案：
19.【解析】设P(x,y)为直线3x-4y+5=0上任意一点，经过变换
后的对应点为P′(x′,y′), 将
代入3x-4y+5=0，得x′-2y′+5=0, 即变换后的直线方程为x-2y+5=0, 解方程组
得
所以直线变换后坐标没变化的点为（5，5）. 答案：(5,5) 20.【解析】∵ρ=2sinθ+4cosθ,∴ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ, 将ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,ρcosθ=x,代入得： x2+y2=2y+4x，即x2+y2-2y-4x=0. 答案：x2+y2-2y-4x=0 21.【解析】直线ρsin（θ-
）=
a, a∈R与圆ρ=-4sinθ的直角坐标方程分别为y=x+2a，x2 +（y+2）2=4，圆心C（0，-2）到直线x-y+2a=0的距离为
由于直线ρsin（θ-
）=
a, a∈R被圆ρ=-4sinθ截得弦长为2
，依题意，得
即d2=r2-2，∴d2=2，(1+a)2=1，解得a=0或-2. 答案：0或-2 22.【解析】点A（6,
）到极轴的距离为6|sin
|=6sin
=3. 点A（6,
）关于极轴所在直线的对称点的一个极坐标为（6,
）. 答案：3 (6,
) 23.【解析】曲线ρ=3与直线ρcos(θ+
)=1的直角坐标方程分别为x2+y2=9与x-y=
, 圆心到直线的距离为d=
=1,所以直线截圆的弦长为l=2
=2
=4
. 答案：
24.【解析】两圆ρ=2cosθ,ρ=2sinθ的直角坐标方程分别为x2+y2-2x=0, x2+y2-2y=0，交点坐标为O（0,0）,A(1,1),两圆公共部分的面积等于2（
）=
-1. 答案：
-1 25.【解析】由ρ2cos2θ=1得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ=1.利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ化为直角坐标方程为x2－y2=1，所以方程表示双曲线,∵c2 =a2+b2=2, ∴c=
,所以双曲线的焦点坐标分别为(
,2kπ)、（
,2kπ+π)（k∈Z). 答案：(
,2kπ)、(
,2kπ+π)(k∈Z) 26.【解析】该直线对应的直角坐标系下的方程为y－3=0，而点（2，
)对应的直角坐标系下的坐标为(
，1)，进而求得点到直线的距离为2. 答案：2 27.【解析】圆ρ=2cosθ对应的直角坐标方程为x2+y2-2x=0，即(x-1)2+y2=1，则圆心的直角坐标是（1，0），半径长为1. 答案：(1,0) 1 28.【解析】在极坐标系中画出点A、B，易得∠AOB=150°.在△OAB中，由余弦定理，得|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|cos∠AOB. ∴|AB|=
S△OAB=
|OA|·|OB|·sin∠AOB=
×3×3×sin150°=
答案：
29.【解析】依题意，△OAB的面积为S=
·|OA|·|OB|·|sin（θ-
）|≤
×4×5=10. 当且仅当θ-
=
或
，即θ=
或
时，Smax=10. 答案：
或
30.【解析】因为三条直线θ=0，θ=
，ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为y=0(x≥0)，y=
x(x≥0)，x+y=1，将x=
代入x+y=1解得y=
那么结合图形可知，这三条直线（或射线）θ=0，θ=
，ρcosθ+ρsinθ=1围成的三角形的面积是S=
×1×
答案：

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