课时提能演练 1.已知2x2+y2=1，则2x+y的最大值是__________. 2.(2012·长沙模拟)已知a,b,c为正数，且a2+b2+c2=14,则a+2b+3c的最大值为 ___________. 3.已知x,y,z为正数，且x+y+z=1,且
的最小值为________. 4.(2012·益阳模拟)已知x,y,z∈(0,+∞),且x+y+z=1，则x2+y2+z2的最小值是 ________. 5.已知a,b,c为正实数，且a+2b+3c=9，则
的最大值为_________. 6.已知x,y为正数，且xy=1，则(1+
)(1+
)的最小值为__________. 7.若
=1,则a2+b2=________. 8.设x,y,z∈R，若x2+y2+z2=4，则x-2y+2z的最小值为_______，此时(x,y,z)= ___________. 9.(2012·湘潭模拟)已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5,则实数a的取值范围是__________. 10.设实数x、y满足3x2+2y2≤6,则P=2x+y的最大值为__________. 11.已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5,b1≤b2≤b3≤b4≤b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9, a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排列记为c1,c2,c3, c4,c5，则a1c1+a2c2+…+a5c5的最大值和最小值分别为_________，__________. 12.有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s, 3s,7s，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________s. 13.若x12+x22+…+xn2=1，y12+y22+…+yn2=1，则x1y1+x2y2+…+xnyn的最大值是_______. 14.已知a,b,c为非零实数，则(a2+b2+c2)(
)的最小值为_______. 15.(2012·郴州模拟)设a,b,c≥0，a2+b2+c2=3,则ab+bc+ca的最大值为_______. 16.若a,b,c均为正数，且a+b+c=6，求
的最大值为_______. 17.已知：x,y,z∈R，x2+y2+z2=1，则x-2y-3z的最大值为_________. 18.函数f(x)=
+cosx，则f(x)的最大值是_______. 19.设M=a2+b2+c2+d2，N=ab+bc+cd+da,则M与N的大小关系是________. 20.已知半圆的直径AB=2R，P是
上一点，则2|PA|+3|PB|的最大值是________. 21.已知不等式(x+y)(
)≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为__________. 22.设a1,a2,…，an均为正数，b1,b2，…，bn是a1,a2，…,an的任一排列，则a1b1-1+ a2b2-1+…+anbn-1的最小值是__________. 23.已知a,b,x,y均为正数，且ab=4,x+y=1, 则(ax+by)(bx+ay)的最小值为_____________. 24.已知a,b是给定的正数，则
的最小值是__________. 25.已知点P是边长为
的等边三角形内的一点，它到三边的距离分别为x,y, z，则x,y,z所满足的关系式为__________，x2+y2+z2的最小值是___________. 26.空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)是以原点为球心，1为半径的球面上任意一点，则x+y+
z的最大值等于__________. 27.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件和2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为_______元，_____________元. 28.(2012·邵阳模拟)函数y=
的最大值为__________. 29.若a,b,c∈(0，1)，且满足条件ab+bc+ac=1,则
的最小值是 ____________. 30.函数y=(1+
)(1+
)(0<α<
)的最小值是___________. 答案解析 1.【解析】2x+y≤
答案：
2.【解析】根据柯西不等式，得(a+2b+3c)2≤(a2+b2+c2)·(12+22+32)=142，所以a+2b+3c≤14,即a+2b+3c的最大值为14. 答案：14 3.【解析】利用柯西不等式，(x+y+z)(
)≥(
)2=36， ∴
≥36,当且仅当x2=
y2=
z2, 即x=
,y=
,z=
时等号成立. 答案：36 4.【解析】根据柯西不等式，得x2+y2+z2 =
(12+12+12)·(x2+y2+z2) ≥
(1×x+1×y+1×z)2 =
(x+y+z)2=
. 答案：
5.【解析】
≤
∴
的最大值为
. 答案：
6.【解析】(1+
)(1+
)≥(1+
)2=4. 答案：4 7.【解析】由柯西不等式，得(a
+b
)2≤[a2+(1-a2)][b2+(1-b2)] =1. 当且仅当ab=
·
时，上式取等号， ∴a2b2=(1-a2)(1-b2), 于是a2+b2=1. 答案：1 8.【解析】∵(x-2y+2z)2≤(x2+y2+z2)［12+(-2)2+22］=4×9=36，∴x-2y+2z的最小值为-6. 此时
. 又∵x2+y2+z2=4,∴x=
,y=
,z=-
. 答案：-6 (
，
，-
) 9.【解题指南】利用柯西不等式把方程化为关于参数的不等式，然后解不等式. 【解析】由柯西不等式得，(2b2+3c2+6d2)(
)≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2. 由条件可得，5-a2≥(3-a)2,解之得1≤a≤2. 答案：［1，2］ 10.【解析】由柯西不等式得 (2x+y)2≤［(
x)2+(
y)2］·［(
)2+(
)2］ =(3x2+2y2)·(
)≤6×
=11， 于是2x+y≤
. 答案：
11.【解析】由顺序和最大知，最大值为a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304;由反序和最小知，最小值为a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212. 答案：304 212 12.【解析】由题意知，等候的时间最短为3×4+4×3+5×2+7=41(s). 答案：41 13.【解析】由(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≤(x12+x22+…+xn2)(y12+y22+…+yn2)=1，得x1y1+x2y2+…+xnyn的最大值是1. 答案：1 14.【解析】由(a2+b2+c2)(
) ≥(a·
+b·
+c·
)2=(1+1+1)2=9. ∴所求最小值为9. 答案：9 15.【解题指南】由于a,b,c的地位是均等的，不妨设a≥b≥c≥0，然后利用排序不等式求解. 【解析】由排序不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ac，得ab+bc+ca≤3.即ab+bc+ca的最大值为3. 答案：3 16.【解析】由柯西不等式得 (
)2=(1×
+1×
+1×
)2 ≤(12+12+12)(2a+2b+1+2c+3) =3(2×6+4)=48. ∴
. 当且仅当
即2a=2b+1=2c+3时等号成立， 又a+b+c=6，∴a=
,b=
,c=
时，
有最大值
. 答案：
17.【解析】由已知x,y,z∈R,x2+y2+z2=1和柯西不等式(a2+b2+c2)(e2+f2+g2)≥(ae+bf+cg)2, 则构造出[12+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2) ≥(x-2y-3z)2. 即(x-2y-3z)2≤14,即x-2y-3z的最大值为
. 答案：
18.【解题指南】利用倍角公式及三角恒等式sin2x+cos2x=1变形，联想柯西不等式的结构特征，用柯西不等式解决. 【解析】由f(x)=
+cosx, 得f(x)=
+cosx≤
.∴f(x)的最大值是
. 答案：
19.【解析】∵(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)≥ (ab+bc+cd+da)2,∴M≥N. 答案：M≥N 20.【解析】由2|PA|+3|PB|≤
=
. 答案：
21.【解题指南】可先利用柯西不等式，求(x+y)(
)的最小值，即为a的最大值. 【解析】由(x+y)(
)≥(1+1)2=4,因此不等式(x+y)(
)≥a对任意正实数x,y恒成立， 即a≤4. 答案：4 22.【解题指南】利用排序不等式求解即可. 【解析】不妨设a1≥a2≥…≥an>0，则an-1≥…≥a2-1≥a1-1>0，由排序原理得a1b1-1+a2b2-1+…+anbn-1≥a1a1-1+a2a2-1+…+anan-1=n. 答案：n 23.【解析】(ax+by)(bx+ay)≥(
)2=［2(x+y)］2=4. 答案：4 24.【解析】
=(sin2α+cos2α) (
)≥(a+b)2. 答案：(a+b)2 25.【解析】利用面积相等，得
(x+y+z) =
， 即x+y+z=3.由(1+1+1)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=9,得x2+y2+z2≥3. 答案：x+y+z=3 3 26.【解析】由已知x,y,z∈R,x2+y2+z2=1 和柯西不等式(a2+b2+c2)(e2+f2+g2)≥(ae+bf+cg)2, 则构造出［12+12+(
)2］(x2+y2+z2) ≥(x+y+
z)2. 即(x+y+
z)2≤4, 即x+y+
z的最大值为2. 答案：2 27.【解题指南】利用排序不等式求解. 【解析】设花钱y元，则由排序不等式有：5×1+4×2+2×3≤y≤5×3+4×2+2×1,即19≤y≤25.即花钱最少19元，最多25元. 答案：19 25 28.【解析】函数的定义域为［5，6］，y＞0 则y=3
+4
≤
=5 当且仅当x-5=6-x，即x=
时，“=”成立， 即ymax=5. 答案：5 29.【解析】设S=
， ∵(1-a+1-b+1-c)(
) ≥(1+1+1)2=9 则S≥
. 由a2+b2+c2≥ab+bc+ac, ∴(a+b+c)2≥3(ab+bc+ac),∴a+b+c≥
, ∴S≥
≥
. 答案：
30.【解析】由柯西不等式，得y=［12+(
)2］· ［12+(
)2］ ≥(1×1+
·
)2=(1+
)2 ≥(1+
)2=3+2
. 答案：3+2

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