易失分点清零(六) 基平面向量
1.已知点O，A，B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足＝，则等于 ( )．
A.－ B.＋
C.－ D.＋
解析 由＝，知点C为AB的中点，由向量加法可得＝＋.
答案 D
2．若平面向量a＝(1，x)和b＝(2x＋3，－x)互相平行，其中x∈R.则|a－b|＝ ( )．
A．－2或0 B．2
C．2或2 D．2或10
解析 由a∥b，得x＝0或－2.当x＝－2，即a－b＝(2，－4)时，|a－b|＝＝2；当x＝0，即a－b＝(－2,0)时，|a－b|＝2.综上，知|a－b|＝2或2.
答案 C
3．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则 ( )．
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
解析 据已知＋＝2，可得点P为线段AC的中点，故有＋＝0.
答案 B
4．在△ABC中，＝(2cos α，2sin α)，＝(5cos β，5sin β)，若·＝－5.则∠ABC＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 由已知得||＝2，||＝5，又因为·＝－5，所以cos∠ABC＝
cos〈，〉＝＝，又∵∠ABC∈(0，π)，所以∠ABC＝.
答案 B
5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝ ( )．
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
解析 因为a∥b，所以1×m＝2×(－2)，即m＝－4.故2a＋3b＝2(1,2)＋
3(－2，－4)＝(－4，－8)．
答案 C
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝
|－|，则||＝ ( )．
A．8 B．4 C．2 D．1
解析 由2＝16，得||＝4，|＋|＝|－|＝||＝4.而|＋|＝2||，故||＝2，故选C.
答案 C
7．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是 ( )．
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析 由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得：＝t ，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D.
答案 D
8．已知两个单位向量a与b的夹角为135°，则|a＋λb|>1的充要条件是 ( )．
A．λ∈(0，)
B．λ∈(－，0)
C．λ∈(－∞，0)∪(，＋∞)
D．λ∈(－∞，－)∪(，＋∞)
解析 |a＋λb|>1?a2＋2λa·b＋λ2b2＝1＋λ2＋2λ·1·1·cos 135°＝λ2－λ＋1>1?λ2－λ>0?λ<0或λ>，故选C.
答案 C
9．已知向量a＝(1－cos θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ＝________.
解析 由于a∥b，故(1－cos θ)(1＋cos θ)＝1×，
即sin2θ＝.又θ为锐角，故sin θ＝，所以θ＝.
答案
10．若向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且α－β＝kπ(k∈Z)，则a与b一定满足：①a与b夹角等于α－β；②|a|＝|b|；③a∥b；④a⊥b.
其中正确结论的序号为________．
解析 显然①不对．
对于②：|a|＝＝1，|b|＝＝1.
∴|a|＝|b|，故②正确．
对于③：∵cos α＝cos(kπ＋β)＝
sin α＝sin(kπ＋β)＝
∴a＝(cos β，sin β)或a＝(－cos β，－sin β)，
与b平行，故③正确．显然④不正确．
答案 ②③
11．已知＝(x,2x)，＝(－3x,2)，如果∠BAC是钝角，则x的取值范围是________．
解析 由∠BAC是钝角，知·<0且与不平行，即－3x2＋4x<0且2x＋6x2≠0，得x>或x<0且x≠－，故填∪∪.
答案 ∪∪
12．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．
解析 法一 记|c|＝r，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(rcos θ，rsin θ)，由(a－c)·(b－c)＝0，
得(1－rcos θ，－rsin θ)·(－rcos θ，1－rsin θ)＝0，
即－rcos θ＋r2cos2θ－rsin θ＋r2sin2θ＝0，
即r2＝r(sin θ＋cos θ)，当r≠0时，即r＝sin θ＋cos θ＝sin≤，即|c|的最大值是.
法二 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则(a－c)·(b－c)＝0，即(1－x，－y)·(－x,1－y)＝0，即x2＋y2－x－y＝0，即2＋2＝，这是一个圆心坐标为，半径为的圆，所求的问题等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离，根据图形，这个最大距离是，即所求的最大值为.
答案
13．已知O为坐标原点，向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，求向量与的夹角的范围．
解 ∵＝(2,2)，＝(2,0)，∴B(2,0)，C(2,2)．
∵＝(cos α，sin α)，
∴＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，
∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆．
如图，过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连接CM，CN，则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB.
由||＝2，||＝||＝||，
知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝.
∴∠MOB＝∠COB－∠COM＝，∠NOB＝∠COB＋∠CON＝，故≤〈，〉≤.
14．设函数f(x)＝cos－cos x，将f(x)的图象按向量a＝平移后得到函数g(x)的图象．
(1)求g(x)的解析式；
(2)设h(x)＝f(ωx)(ω>0)，求使h(x)在区间上是减函数的ω的最大值．
解 (1)f(x)＝cos－cos x
＝－cos x
＝cos x－sin x＝cos，
所以g(x)＝cos＝cos.
(2)h(x)＝f(ωx)＝cos，
由x∈，得ωx＋∈，
因为h(x)在区间上是减函数，
所以(k∈Z)?
因为ω>0，则得－
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