a,解得0时,S3=1+q+≥1+2 =3; 当公比q<0时,S3=1-≤1-2 =-1,所以S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞). 答案 D 9.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*),则数列{an}的通项公式是________. 解析 由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减,得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2). 又a2=2S1+1=3, 所以a2=3a1,故{an}是首项为1,公比为3的等比数列. 所以an=3n-1. 答案 an=3n-1 10.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则数列{nan}中数值最小的项是第________项. 解析 当n=1时,a1=S1=-9; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-(n-1)2+10(n-1)=2n-11. 可以统一为an=2n-11(n∈N*),故nan=2n2-11n,关于n的二次函数的对称轴是n=,考虑到n为正整数,且对称轴离n=3较近,故数列{nan}中数值最小的项是第3项. 答案 3 11.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,则数列的公比q是________. 解析 若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但a1≠0,即得S3+S6≠2S9,与题设矛盾,故q≠1.又依题意S3+S6=2S9?+=2·?q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)(q3-1)=0,因为q≠1,所以q3-1≠0,则2q3+1=0,解得q=-. 答案 - 12.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且满足=,则=________. 解析 =====. 答案 13.已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n=1,2,3,…. (1)证明:数列是等比数列; (2)求数列的前n项和Sn. (1)证明 因为an+1=, 所以==+·. 所以-1=. 又a1=,所以-1=. 所以数列是以为首项,为公比的等比数列. (2)解 由(1),知-1=·=, 即=+1,所以=+n. 设Tn=+++…+, ① 则Tn=++…++, ② 由①-②,得 Tn=++…+-=-=1--, 所以Tn=2--=2-. 又1+2+3+…+n=, 所以数列的前n项和Sn=2-+=-. 14.已知数列{an}满足a1=1,a2=,且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1](n=1,2,3,…). (1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式; (2)令bn=a2n-1·a2n,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<3. (1)解 分别令n=1,2,3,4,可求得 a3=3,a4=,a5=5,a6=. 当n为奇数时,不妨设n=2m-1,m∈N*, 则a2m+1-a2m-1=2,所以{a2m-1}为等差数列. 所以a2m-1=1+(m-1)·2=2m-1,即an=n. 当n为偶数时,设n=2m,m∈N*,则a2m+2=a2m, 所以{a2m}为等比数列,a2m=·m-1=. 故an=. 综上所述,an= (2)证明 bn=a2n-1·a2n=(2n-1)·, 所以Tn=1×+3×+5×+…+(2n-1)·, 所以Tn=1×+3×+…+(2n-3)·+(2n-1)·. 两式相减,得 Tn=+2-(2n-1)· =+2·-(2n-1)· =-, 所以Tn=3-.故Tn<3. 【点此下载】
0时,S3=1+q+≥1+2 =3; 当公比q<0时,S3=1-≤1-2 =-1,所以S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞). 答案 D 9.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*),则数列{an}的通项公式是________. 解析 由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减,得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2). 又a2=2S1+1=3, 所以a2=3a1,故{an}是首项为1,公比为3的等比数列. 所以an=3n-1. 答案 an=3n-1 10.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则数列{nan}中数值最小的项是第________项. 解析 当n=1时,a1=S1=-9; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-(n-1)2+10(n-1)=2n-11. 可以统一为an=2n-11(n∈N*),故nan=2n2-11n,关于n的二次函数的对称轴是n=,考虑到n为正整数,且对称轴离n=3较近,故数列{nan}中数值最小的项是第3项. 答案 3 11.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,则数列的公比q是________. 解析 若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但a1≠0,即得S3+S6≠2S9,与题设矛盾,故q≠1.又依题意S3+S6=2S9?+=2·?q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)(q3-1)=0,因为q≠1,所以q3-1≠0,则2q3+1=0,解得q=-. 答案 - 12.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且满足=,则=________. 解析 =====. 答案 13.已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n=1,2,3,…. (1)证明:数列是等比数列; (2)求数列的前n项和Sn. (1)证明 因为an+1=, 所以==+·. 所以-1=. 又a1=,所以-1=. 所以数列是以为首项,为公比的等比数列. (2)解 由(1),知-1=·=, 即=+1,所以=+n. 设Tn=+++…+, ① 则Tn=++…++, ② 由①-②,得 Tn=++…+-=-=1--, 所以Tn=2--=2-. 又1+2+3+…+n=, 所以数列的前n项和Sn=2-+=-. 14.已知数列{an}满足a1=1,a2=,且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1](n=1,2,3,…). (1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式; (2)令bn=a2n-1·a2n,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<3. (1)解 分别令n=1,2,3,4,可求得 a3=3,a4=,a5=5,a6=. 当n为奇数时,不妨设n=2m-1,m∈N*, 则a2m+1-a2m-1=2,所以{a2m-1}为等差数列. 所以a2m-1=1+(m-1)·2=2m-1,即an=n. 当n为偶数时,设n=2m,m∈N*,则a2m+2=a2m, 所以{a2m}为等比数列,a2m=·m-1=. 故an=. 综上所述,an= (2)证明 bn=a2n-1·a2n=(2n-1)·, 所以Tn=1×+3×+5×+…+(2n-1)·, 所以Tn=1×+3×+…+(2n-3)·+(2n-1)·. 两式相减,得 Tn=+2-(2n-1)· =+2·-(2n-1)· =-, 所以Tn=3-.故Tn<3. 【点此下载】