易失分点清零(二) 函数的概念、图象和性质
1.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是 ( )．
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析 对于A，f(x)是反比例函数，可知其在(0，＋∞)上是减函数，所以A符合题意；对于B，可知其是开口向上的抛物线，在(－∞，1]上是减函数，故不符合题意；对于C，可知其是指数函数，且底数e>1，故其在(0，＋∞)上是增函数；对于D，可知其是底数大于1的对数函数，其在(－1，＋∞)上递增．
答案 A
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
则f(3)的值为 ( )．
A．1 B．2 C．－2 D．－3
解析 f(3)＝f(2)－f(1)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3.
答案 D
3．f(x)＝x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为
( )．
A．[－，＋∞)
B．(－∞，－3]
C．(－∞，－3]∪[－，＋∞)
D．[－，]
解析 f′(x)＝x2＋2ax＋5，当f(x)在[1,3]上单调递减时，由得a≤－3；当f(x)在[1,3]上单调递增时，f′(x)≥0中，Δ＝4a2－4×5≤0或或得a∈[－，＋∞)．
综上：a的取值范围为(－∞，－3]∪[－，＋∞)，故选C.
答案 C
4．已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是 ( )．
解析 根据分段函数的解析式，可得此函数的图象，如图所示．由于此函数在x∈[－1,1]上函数值恒为非负值，所以|f(x)|的图象不发生改变，故D选项错误．
答案 D
5．(2013·哈尔滨月考)函数f(x)＝loga(2－ax2)在(0,1)上为减函数，则实数a的取值范围是 ( )．
A. B．(1,2) C．(1,2] D.
解析 由题意得a>0，所以内函数u＝2－ax2在(0,1)上为减函数，而函数f(x)＝loga(2－ax2)在(0,1)上也为减函数，则外函数y＝logau必是增函数(复合函数单调性是同增异减)，所以a>1.同时u>0在(0,1)上恒成立，故2－a×1≥0即a≤2.综上有a∈(1,2]．
答案 C
6．已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)＝x＋2，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为 ( )．
A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]
解析 ∵函数f(x)的定义域为[1,9]，∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须满足1≤x≤9,1≤x2≤9，解得1≤x≤3.∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．
∵当1≤x≤9时，f(x)＝x＋2，∴当1≤x≤3时，也有f(x)＝x＋2，即y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(x＋2)2＋(x2＋2)＝2(x＋1)2＋4，∴当x＝1时，y取得最小值，ymin＝12，当x＝3时，y取得最大值，ymax＝36，∴所求函数的值域为[12,36]，故选C.
答案 C
7．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图
则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是 ( )．
解析 从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B项．又g(x)在x＝0处无意义，故f(x)·g(x)在x＝0处无意义，排除C、D两项．
答案 A
8．(2013·山西四校联考)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是 ( )．
A．(3,7) B．(9,25) C．(13,49) D．(9,49)
解析 函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数y＝f(x)关于点(0,0)对称，即函数为奇函数，且在R上是增函数，故有f(x2－6x＋21)<－f(y2－8y)恒成立，即f(x2－6x＋21)0，设t＝＝.则x＝.
故log2＝log2x2＝log2x＝log2＝－log2t，
所以f(t)＝－log2t，即f(x)＝－log2x(x>0)．
答案 －log2x(x>0)
13．(2013·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：
①f(2)＝0；
②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；
④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2则x1＋x2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．
解析 令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0；根据①可得f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则＝－4，即x1＋x2＝－8.故正确命题的序号为①②④.
答案 ①②④
14．已知f(x)＝lg(－x2＋8x－7)在(m，m＋1)上是增函数，则m的取值范围是________．
解析 复合函数f(x)＝lg(－x2＋8x－7)可以分解为外函数y＝lg u和内函数u＝－x2＋8x－7.外函数是增函数，故内函数在(m，m＋1)上必是增函数．故有
解得1≤m≤3.
答案 [1,3]
15．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时f(x)＝1－x，则
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3，
其中所有正确命题的序号是________．
解析 由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，
则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，函数y＝f(x)的图象如图所示：
当3
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