湖南大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设双曲线以椭圆长轴上的两个端点为焦点，其一支上的动点到相应焦点的最短距离为5－2，则双曲线的渐近线的斜率为( )
A．±2 B．± C．± D．±
【答案】C
2．若2，2，2成等比数列，则点( x，y )在平面直角坐标系内的轨迹是( )
A．一段圆弧 B．椭圆的一部分 C．双曲线一支的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】C
3．椭圆的一个焦点是(0,－2), 则k的值为( )
A． 1 B． －1 C． D． －
【答案】A
4．下列四个命题中不正确的是( )
A．若动点与定点、连线、的斜率之积为定值，则动点的轨迹为双曲线的一部分
B．设，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是抛物线的一部分
C．已知两圆、圆，动圆与圆外切、与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是椭圆
D．已知，椭圆过两点且以为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
【答案】D
5．双曲线的渐近线方程是( )
A． B． C． D．
【答案】A
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A．（0， B．（） C．（0，） D．（，1）
【答案】D
7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于( )
A． 10 B． 8 C． 6 D． 4
【答案】B
8．椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
9．若双曲线的一个焦点到两条准线的距离之比为，则双曲线的离心率是( )
A．3 B．5 C． D．
【答案】C
10．已知点在抛物线上，则的最小值是( )
A．2 B． 0 C．4 D． 3
【答案】D
11．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则满足的条件是( )
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】C
12．抛物线的焦点到准线的距离是( )
A． B． C. D．
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．双曲线的两条渐近线方程是
【答案】
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线，且这条直线与双曲线的一个交点为，已知，则双曲线的渐近线方程为____
【答案】
15．若方程表示双曲线，则的取值范围是
【答案】
16．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数 .
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知点A(2，8)，在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合(如图).
?? (I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
?? (II）求线段BC中点M的坐标；???
?? (III）求BC所在直线的方程.
?
【答案】（I）由点A(2，8)在抛物线上，有?解得
??? 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为(8，0)
?? (II）如图，由F(8，0)是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且?设点M的坐标为，则?
解得?所以点M的坐标为
?? (III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.
?? 设BC所成直线的方程为
?? 由消x得
?? 所以??? 由(II)的结论得?解得
?? 因此BC所在直线的方程为 ?即
18．已知动圆过定点，且与直线相切，椭圆的对称轴为坐标轴，一个焦点为，点在椭圆上.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程及椭圆的方程；
(2)若动直线与轨迹在处的切线平行，且直线与椭圆交于两点，试求当面积取到最大值时直线的方程.
【答案】（1）过圆心M作直线的垂线，垂足为H.
由题意得，|MH|=|MF|,由抛物线定义得，点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为. 设椭圆方程为，将点A代入方程整理得解得 .
故所求的椭圆方程为
(2）轨迹的方程为，即.
则，所以轨迹在处的切线斜率为，
设直线方程为，代入椭圆方程得
因为 ，解得；
设
所以
点A到直线的距离为.
所以
当且仅当，即时等号成立，此时直线的方程为
19．已知某椭圆C，它的中心在坐标原点，左焦点为,且过点.（1）、求椭圆C的标准方程；（2）、若已知点，当点在椭圆C上变动时，求出线段中点的轨迹方程；
【答案】 (1)、
(2)、得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是
20．已知直线l：mx–2y+2m=0(mR)和椭圆C：(a>b>0), 椭圆C的离心率为，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2.
(I）求椭圆C的方程；
(II）设直线l经过的定点为Q，过点Q作斜率为k的直线l/与椭圆C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(Ⅲ)设直线l与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，线段PM长度的最大值为f(m)，求f(m)的表达式.
【答案】(I）由离心率，得
又因为，所以，
即椭圆标准方程为.
(II）由l：mx–2y+2m=0经过定点Q(–2, 0), 则直线l/：y=k(x+2)，
由 有．
所以， 可化为
解得．
(Ⅲ) 由l：mx–2y+2m=0，设x=0, 则y=m, 所以P(0, m).
设M(x, y)满足,
则|PM|2 =x2 +(y –m)2 =2–2y2 +(y – m )2 = –y2 –2my +m2+2
= –(y +m)2 +2m2 +2， 因为 –1y1, 所以
当|m|>1时，|MP|的最大值f(m)=1+|m|；
当|m|1时，|MP|的最大值f(m)=；
所以f(m)=.
21．抛物线，点P（1，－1）在抛物线C上，过点P作斜率为k1、k2
的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足k1+k2=0.
(1）求抛物线C的焦点坐标；
(2）若点M满足，求点M的轨迹方程.
【答案】（1）将P（1，－1）代入抛物线C的方程得a=－1，
∴抛物线C的方程为，即
焦点坐标为F（0，－）.
(2）设直线PA的方程为，
联立方程消去y得
则
同理直线PB的方程为
联立方程消去y得
则
设点M的坐标为（x，y），由
又
22．已知椭圆经过点,对称轴为坐标轴,焦点在轴上,离心率.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 求的平分线所在直线的方程;
(3) 在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.
【答案】（1）椭圆方程E为：
(2）（法一）方程为：，方程为：
设角分线上任意一点为，则
得或（舍，斜率为正）直线方程为
(法二）
(3）假设存在两点关于直线对称，
方程为代人得，BC中点为
在直线上，得。
BC中点为与A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点。
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