【解析分类汇编系列四一：北京2013高三（期末）文数】：专题14：导数 一、选择题 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）已知函数. (Ⅰ)当时,求的极值; (Ⅱ)求的单调区间. 解:(Ⅰ)当时,,  由得(舍)或 当时, ,当时,, 所以,当时,取极大值,无极小值 (Ⅱ), 当时,在区间上,所以的增区间是; 当时,由得或. 当时,在区间上,在区间上, 所以的增区间是,减区间是; 当时,在区间上,在区间上, 所以的增区间是,减区间是 ．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； （Ⅲ）若函数有零点，求实数的取值范围． （Ⅰ） …………………2分 ，，所以切线的方程为 ，即． …………………4分 （Ⅱ）令则            ↗ 最大值 ↘  ，所以且，，， 即函数的图像在直线的下方． …………………9分 （Ⅲ）有零点，即有解， . 令 ，， 解得. 11分 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，的最大值为， 所以. …………………13分 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）（本小题满分13分）已知函数. （Ⅰ）若求函数上的最大值； （Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围. （I）当时，， .............1分 令..................................2分 列表：          -  +     ↘  ↗    ∴当时，最大值为. ………………………7分 （Ⅱ）令 若单调递减. 单调递增. 所以，在时取得最小值， 因为. …………………..9分 ② 若， 所以当……………………………………..10分 ③若单调递减. 单调递增. 所以，在取得最小值， 令  综上，的取值范围是.………………………………13分 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知函数． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间. ， ……………………………………………1分 令． （Ⅰ）当时，函数，，． 曲线在点处的切线的斜率为． …………………………2分 从而曲线在点处的切线方程为， 即． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）函数的定义域为． 设， （1）当时，在上恒成立， 则在上恒成立，此时在上单调递减．……………6分 （2）当时，， （ⅰ）若， 由，即，得或；……………8分 由，即，得．………………………9分 所以函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为． ……………………………………11分 （ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ………………………………………………………………13分 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知函数，. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上是减函数，求的取值范围. （Ⅰ）当时，， 又，所以. 又， 所以所求切线方程为 ，即. 所以曲线在点处的切线方程为.………6分 （Ⅱ）因为， 令，得或.………………………8分 当时，恒成立，不符合题意. ……………………………9分 当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数， 则解得.……………………………………………11分 当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. …………………………13分 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若的极小值为-1，求的极大值. （Ⅰ）．…2分 令， ∵， ∴的零点就是的零点，且与符号相同． 又∵， ∴当时，>0,即， 当时，<0,即， ………………………………………6分 ∴的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=0是的极小值点，所以有  解得． ………………………………………………………11分 所以函数的解析式为． 又由（Ⅰ）知，的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数的极大值为． ……………….…14分 ．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知函数与函数在点处有公共的切线，设. （I） 求的值 （Ⅱ）求在区间上的最小值. （I）因为所以在函数的图象上 又，所以 所以 ………………3分 （Ⅱ）因为，其定义域为  ………………5分 当时，， 所以在上单调递增 所以在上最小值为 ………………7分 当时，令，得到(舍) 当时，即时，对恒成立， 所以在上单调递增,其最小值为 ………………9分 当时，即时, 对成立， 所以在上单调递减， 其最小值为 ………………11分 当,即时, 对成立, 对成立 所以在单调递减,在上单调递增 其最小值为………13分 综上，当时， 在上的最小值为 当时，在上的最小值为 当时, 在上的最小值为. ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知函数 （Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值； （Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值． （Ⅰ），　　　　　　　 ………………………………1分 于是，根据题设有  解得 或  ……………………3分 当时，， ，所以函数有极值点； ………………………………………………………………4分 当时，，所以函数无极值点． …………5分 所以　． …… …………………………………………………… 6分 （Ⅱ）法一：对任意，都成立，………7分 所以对任意，都成立．8分 因为 , 所以 在上为单调递增函数或为常数函数， ………9分 所以 对任意都成立， 即 . ……………………………………11分 又， 所以　当时，， ……………………………12分 所以　， 所以　的最小值为． ………………………………13分 法二：对任意，都成立，…………… 7分 即对任意，都成立， 即． …………………………………………8分 令，…………………………… 9分 当时，，于是；………………………10分 当时，，于是， ．……11分 又，所以． ………………………………12分 综上，的最小值为． ………………………………13分 ．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））(本小题满分13分)已知函数 . （Ⅰ）若函数在处取得极值，求的值； （Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.  ………………………1分 （Ⅰ）因在处有极值，所以有 即 …………………………3分 解得 ……………………5分 经检验，符合题意 所以，当在处有极值时，，. (Ⅱ)因，所以 令,得, …………… …………7分 当时,  在,有；在有 所以的增区间为,,减区间为. …………10分 当时,  在,有；在有 所以得增区间为,减区间为,. …………13分 综上所述, 当时, 得增区间为,,减区间为; 当时, 得增区间为,减区间为,.
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