【解析分类汇编系列四：北京2013高三（期末）文数】：专题5：数列
一、选择题
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在数列中 ，则的值为 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
B
因为点生意，即数列是公比为2的等比数列，所以，选B.
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于 （ ）
A． B． C． D．
C
因为，，所以，解得，所使用，解得，选C.
二、填空题
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在等比数列中，，则公比 ； ．
在等比数列中，所以，即。所以，所以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知是等差数列的前项和，其中则
6；9
由得。所以。。
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知数列是等比数列，数列是等差数列，则的值为 .
因为是等比数列，所以，所以。是等差数列。所以。
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:
①，②若，；③
则 ； .
根据定义得。，，，所以根据归纳推理可知。
．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，．
由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，，所以第5行的公比为，所以。由题意知，，所以第行的公比为，所以
．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）数列是公差不为0的等差数列，且，则
在等差数列中，由得，即，所以。
．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）任給实数定义 设函数，则=___；若是公比大于的等比数列，且，则
；
因为，所以。因为，所以，所以。若，则有，所以。此时，即，所以，所以。而。在等比数列中因为，所以，即，所以，所以，若，则，即，解得。若，则，即，因为，所以，所以方程无解。综上可知。
．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在等差数列中，若，前5项的和，则 ．
在等差数列中，，解得，所以。
．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营前年的总利润（单位：万元）与之间的关系为.当每辆客车运营的年平均利润最大时， 的值为 .
由题意知年平均利润，因为，当且仅当，即时取等号。所以，所以。
三、解答题
．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）已知函数,当时,的值中所有整数值的个数记为.
(Ⅰ)求的值,并求的表达式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和;
(Ⅲ)设,,若对任意的,都有
成立,求的最小值.
(共14分)
解:(Ⅰ)当时,在上递增,
所以,,
因为在上单调递增,
所以,,
从而
(Ⅱ)因为,
所以
.---------------------
当是偶数时,
;
当是奇数时,
(Ⅲ),
,
,
错位相减得,
所以,
因为,
若对任意的,都有成立,则,
所以,的最小值为
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．
（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的 “保三角形函数”，求的取值范围；
（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；
（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?
(解题中可用以下数据 :)
（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列．
因为，显然有，
由得
解得.
所以当时，
是数列的保三角形函数. …………………3分
（Ⅱ）由，得，
两式相减得，所以 ……5分
经检验，此通项公式满足.
显然,
因为,
所以是三角形数列. …………………8分
（Ⅲ）,
所以是单调递减函数.
由题意知，①且②,
由①得，解得,
由②得，解得.
即数列最多有26项. …13分
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，
（Ⅰ）设数列，
①求；②求的值；
（Ⅱ）若中最大的项为50， 比较的大小.
(I)① 因为数列，
所以，
所以 . ………8分
②……….10分
(II) 一方面，，
根据的含义知，
故，即 ，
当且仅当时取等号.
因为中最大的项为50，所以当时必有，
所以
即当时，有； 当时，有. 14分
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合，记其“特征值”为，求证：
证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.
可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.
得到数表的不同特征值是或 ……………………………………………3分
7
1
4
5
8
2
3
6
9
（Ⅱ）当时，数表为
此时，数表的“特征值”为 ……………………………………………………4分
13
1
5
9
10
14
2
6
7
11
15
3
4
8
12
16
当时,数表为
此时，数表的“特征值”为. ………………………………………………………5分
21
1
6
11
16
17
22
2
7
12
13
18
23
3
8
9
14
19
24
4
5
10
15
20
25
当时，数表为
此时，数表的“特征值”为. ………………………6分
猜想“特征值”为. …………………………………………………………………7分
（Ⅲ）设（）为该行（或列）中最大的两个数，则，
因为
所以，从而 …………………………………………13分
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知为等比数列，其前项和为，且.
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
（Ⅰ）当时，.……………………………………1分
当时，.……………………………………………3分
因为是等比数列，
所以，即..…………………………………5分
所以数列的通项公式为.…………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设数列的前项和为.
则. ①
. ②
①-②得 ……………………9分
……………………………………11分
.…………………………………………………12分
所以.……………………………………………………………13分
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）已知实数组成的数组满足条件：
①； ②.
(Ⅰ) 当时，求，的值；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设,且，
求证：.
(Ⅰ)
由（1）得，再由（2）知，且.
当时，.得，所以……………………………2分
当时，同理得………………………………………………4分
（Ⅱ）证明：当时，
由已知,.
所以
.………………………………………………9分
（Ⅲ）证明：因为，且.
所以,
即 .……………………………11分
)
.……………………………………………………………14分
．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）（本题共14分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形.
（Ⅰ）求、的坐标；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值;若不存在，说明理由.
（Ⅰ）∵?B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，
∴直线B0A1的方程为y=x．
由 得，，得A1（2，2），． ….…….…….…......3分
（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得， ，即 ．（*）…….………………………..5分
∵和均在曲线上，
∴，
∴，代入（*）式得，
∴()．………………… …………………………..…..….…..7分
∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，
故其通项公式为() ． …………....…………………………...……..8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，， ….……………………………………………9分
∴，……………………..……………………………….…10分
∴，，
∴
= =，…………….……..11分
． …………………….……12分
欲使，只需<，
只需， ………………………………………………….…………13分
，
∴不存在正整数N，使n≥N时， 成立．…………………….14分
．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）现有一组互不相同且从小到大排列的数据，其中．记，，作函数，使其图象为逐点依次连接点的折线．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）设直线的斜率为，判断的大小关系；
（Ⅲ）证明：当时，．
（Ⅰ）， ……………………………… 2分
； ………………………………4分
（Ⅱ）解：，． ……………………………… 6分
因为 ，
所以 ． ………………………………8分
（Ⅲ）证：由于的图象是连接各点的折线，要证明，只需证明．…………9分
事实上，当时，
．
下面证明．
法一：对任何，
………………10分
……………………………………11分
…………………………12分
所以 ．…………………………13分
法二：对任何，
当时，
；………………………………………10分
当时，
综上，． ………………………………………13分
．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．
对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．
（Ⅰ）对如下数表，求的值；
（Ⅱ）证明：存在，使得，其中；
（Ⅲ）给定为奇数，对于所有的，证明：．
（Ⅰ） ，；，，
所以． ………………3分
（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表：，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
依此类推，将数表中的由变为，得到数表．
即数表满足：，其余．
所以 ，．
所以 ，其中．……………7分
【注：数表不唯一】
（Ⅲ）证明：用反证法．
假设存在，其中为奇数，使得．
因为， ，
所以，，，，，，，这个数中有个，个．
令．
一方面，由于这个数中有个，个，从而． ①
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而． ②
①、②相互矛盾，从而不存在，使得．
即为奇数时，必有． ………………13分
．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））（本小题满分13分）已知函数同时满足：①函数有且只有一个零点；②在定义域内存在，使得不等式成立.设数列的前项和（）.
(Ⅰ) 求函数的表达式；
(Ⅱ) 求数列的通项公式；
(Ⅲ) 在各项均不为零的数列中，所有满足的整数的个数称为数列的变号数. 令，求数列的变号数.
Ⅰ）有且只有一个零点，
解得 ………………1分
当时，函数上递减
故存在，使得不等式成立 ………………2分
当时，函数上递增
故不存在，使得不等式成立 ………………3分
综上，得， …………………………4分
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知
当时， ………………5分
当时，
………………………………7分
…………………………8分
(Ⅲ)由题设得 ， ………………9分
递增， ………………………………10分
即时，有且只有1个变号数；
又
∴此处变号数有2个； ………………………………………………12分
综上得数列的变号数为3. ………………13分
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