【解析分类汇编系列四：北京2013高三（期末）文数】：专题7：立体几何
一、选择题
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是 （ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则⊥ D．若，则
C
C中，当，所以，或当，所以⊥，所以正确。
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 （ ）
A． B． C． D．
B
由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
A
根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中ABCD是直角梯形，AB⊥AD， AB=AD=2，BC=4，即PA⊥平面ABCD，PA=2。且底面梯形的面积为，所以.选A.
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
（ ）
A． B． C． D．
C
由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在棱长为的正方体中，，分别为线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
A
过做底面于O,连结, 则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A.
．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是 （ ）
A． B． C．4 D．8
A
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以，选A.
．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面则线段长度的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
B
取的中点M,的中点N,连结，可以证明平面平面，所以点P 位于线段上，把三角形拿到平面上，则有,所以当点P位于时，最大，当P位于中点O时，最小，此时，所以，即，所以线段长度的取值范围是，选B.
．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是
（ ）
A． B． C．8 D．4
D
由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为，选D.
．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ） （ ）
A． B． C． D．
C
由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中,所以四棱锥的体积为，选C.
．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是 （ ）
A． B． C． D．
D
由三视图可知，三棱柱的高为1，底面正三角形的高为，所以正三角形的边长为2，所以三棱柱的侧面积为，两底面积为，所以表面积为，选D.
二、填空题
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，所以该几何体的体积为。
．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为______.
取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。
三、解答题
．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）如图,四边形为矩形,平面,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)设是线段的中点,试在线段上确定一点,使得平面.
(共13分)
证明:(Ⅰ)∵,
∴,
∴
∵平面,
∴,又,
∴,
又,
∴平面,
∴
(Ⅱ)设的中点为,的中点为,连接,
又是的中点,
∴,.
∵平面,平面,
∴平面
同理可证平面,
又,
∴平面平面,
∴平面
所以,当为中点时,平面
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题） 如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）求证： 平面；
（Ⅲ） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
（Ⅰ）证明：
…………………………4分
（Ⅱ）证明： 在△中，
.又.
由
. …………………………9分
（Ⅲ）设则
由（Ⅱ）知，△，△均为直角三角形．
………………12分
当时, 的最小值是．
即当为中点时, 的长度最小,最小值为．…………………14分
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
解：（I）连接.
由是正方形可知,点为中点.
又为的中点，
所以∥………………….2分
又
所以∥平面………….4分
(II) 证明：由
所以
由是正方形可知,
又
所以………………………………..8分
又
所以…………………………………………..9分
(III) 在线段上存在点，使. 理由如下：
如图，取中点，连接.
在四棱锥中，，
所以.…………………………………………………………………..11分
由（II）可知，而
所以，
因为
所以…………………………………………………………. 13分
故在线段上存在点，使.
由为中点，得…………………………………………… 14分
．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在长方体中，，是棱上的一点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若是棱的中点，在棱上是否存在点，使得∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）在长方体中，
因为面，
所以． ………………………………………………………………2分
在矩形中，因为，所以．……………………4分
所以面. ………………………………………………………5分
（Ⅱ）因为，所以面，
由（Ⅰ）可知，面， …………………………………………7分
所以． …………………………………………………………………8分
（Ⅲ）当点是棱的中点时，有∥平面． ………………………9分
理由如下：
在上取中点，连接．
因为是棱的中点，是的中点，
所以∥，且．……10分
又∥，且．
所以∥，且，
所以四边形是平行四边形，
所以∥．…………………………11分
又面，面，
所以∥平面． …………………………………………………………13分
此时，． …………………………………………………………14分
．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）如图，在菱形中， ⊥平面，且四边形是平行四边形．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）当点在的什么位置时，使得平面，并加以证明.
解：（Ⅰ）连结，则.
由已知平面，
因为，
所以平面.
又因为平面，
所以. ………………………………………………6分
（Ⅱ）当为的中点时，有平面.……7分
与交于，连结.
由已知可得四边形是平行四边形，
是的中点，
因为是的中点，
所以.……………………10分
又平面，
平面，
所以平面.……………………13分
．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点.
(Ⅰ)求证：MN平面 BCC1B1;
(Ⅱ)求证：平面A1BC平面A1ABB1．
：(Ⅰ)连结BC1
∵点M , N分别为A1C1与A1B的中点，
∴∥BC1．........................................................4分
∵，
∴MN∥平面BCC1B1．.................................... ....6分
(Ⅱ)∵，
平面，
∴．...................................................................................................... 9分
又∵ABBC，
，
∴．....................................................................................... 12分
∵，
∴平面A1BC平面A1ABB1．............................................................................... 13分
．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，在直三棱柱中，，，且是中点.
（I）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面.
解：(I) 连接交于点，连接
因为为正方形，所以为中点
又为中点，所以为的中位线，
所以 ………………3分
又平面，平面
所以平面 ………………6分
(Ⅱ)因为，又为中点，所以 ………………8分
又因为在直三棱柱中，底面，
又底面, 所以,
又因为，所以平面，
又平面，所以 ………………10分
在矩形中, ,所以，
所以，即 ………………12分
又，所以平面 ………………14分
．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分别为CC1，AB的中点，求证：CN //平面AB1M．
证明：（Ⅰ）因为 三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，
所以 CC1⊥BC． …………………………………………1分
因为 AC=BC=2，，
所以 由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． ……………………………2分
又因为AC∩CC1=C，
所以 BC⊥平面ACC1A1． ……………………4分
因为 AM平面ACC1A1，
所以 BC⊥AM． ……………………6分
（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP ，则NP∥CC1． ………………8分
因为 M,N分别为CC1, AB中点，
所以 ，． …………9分
因为 BB1=CC1，
所以 NP=CM． ……………………10分
所以 四边形MCNP是平行四边形．…………11分
所以 CN//MP． ……………………12分
因为 CN平面AB1M，MP平面AB1M， ……………………13分
所以 CN //平面AB1 M． ……………………14分
．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）如图，直三棱柱中，，，，分别
为，的中点．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）求证：// 平面；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．
（Ⅰ）证明：连接．
因为 是直三棱柱，
所以 平面， ………………1分
所以 ． ………………2分
因为 ， 所以 平面． ………………3分
因为 ，，
所以 ． ………………4分
（Ⅱ）证明：取中点，连接，． ………………5分
在△中，因为 为中点，所以，．
在矩形中，因为 为中点，所以，．
所以 ，．
所以 四边形为平行四边形，所以 ． ………………7分
因为 平面，平面， ………………8分
所以 // 平面． ………………9分
（Ⅲ）解：线段上存在点，且为中点时，有平面． ………11分
证明如下：连接．
在正方形中易证 ．
又平面，所以 ，从而平面．…………12分
所以 ． ………………13分
同理可得 ，所以平面．
故线段上存在点，使得平面． ………………14分
．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版））（本小题满分14分）在长方体中，， 为棱上一点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
（本小题满分14）
（Ⅰ）证明：连接
∵是长方体，
∴平面，………………1分
又平面
∴ ………………2分
在长方形中，
∴ ……………3分
又 ………………4分
∴平面，………………5分
而平面 ………………6分
∴ ………………7分
（Ⅱ）存在一点，使得∥平面，此时. ………………8分
当时，为中点
设交于点,则为中点
连接,在三角形中, ∥ ………………10分
平面,平面 ………………13分
∴∥平面 ………………14分
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