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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列四个等式中，能表示y是x的函数的是( )
①x－2y＝2；②2x2－3y＝1；③x－y2＝1；④2x2－y2＝4.
A．①② B．①③
C．②③ D．①④
解析： ①可化为y＝x－1，表示y是x的一次函数．
②可化为y＝x2－，表示y是x的二次函数．
③当x＝5时，y＝2，或y＝－2，不符合唯一性，
故y不是x的函数．
④当x＝2时，y＝±2，故y不是x的函数．
答案： A
2．下列两个函数完全相同的是( )
A．y＝与y＝x B．y＝与y＝x
C．y＝()2与y＝x D．y＝与y＝x
解析： A中y＝的定义域为{x|x≠0}，而y＝x的定义域为R；
C中y＝()2的定义域为[0，＋∞)，而y＝x的定义域为R，故A、C错；
B中y＝＝|x|与y＝x的对应关系不同，所以B错；
D中y＝＝x与y＝x定义域与对应关系均相同，故D对．
答案： D
3．函数y＝ 的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
解析： 要使函数式有意义，须满足x＋1>0，
∴x>－1，故定义域为(－1，＋∞)．
答案： C
4．y＝2x＋1，x∈N＋，且2≤x≤4，则函数的值域是( )
A．(5,9) B．[5,9]
C．{5,7,9} D．{5,6,7,8,9}
解析：
x
2
3
4
2x＋1
5
7
9
所以函数的值域为{5,7,9}，故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
解析： ∵f(x)的定义域是[0,2]，
∴要使有意义，需满足，即，
∴0≤x＜1，
∴g(x)的定义域为[0,1)．
答案： [0,1)
6．f(x)＝，g(x)＝x2－1，则f(2)＝______，f(g(2))＝______，f()＝______，f(g(b))＝______.
解析： f(2)＝＝，
∵g(2)＝22－1＝3，
∴f[g(2)]＝f(3)＝＝.
f()＝＝
f(g(b))＝＝＝
答案： ，，，
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(1)若f(x)＝ax2－，a为一个正的常数，且f(f())＝－，求a的值．
(2)已知f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，若g[f(x)]＝x2＋x＋1，求a的值．
解析： (1)∵f()＝a·()2－
＝2a－，
∴f[f()]＝a·(2a－)2－＝－.
∴a(2a－)2＝0.
∵a为一个正的常数，
∴2a－＝0，∴a＝.
(2)∵f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)
∴g(f(x))＝[f2(x)＋3]
＝(2x＋a)2＋
＝x2＋ax＋a2＋
又∵g(f(x))＝x2＋x＋1
∴即a＝1
8．已知y＝f(x)的定义域为[1,2]，
(1)求f(2x＋1)的定义域；
(2)求g(x)＝f(1＋x)＋f(2－x)的定义域．
解析： (1)设2x＋1＝t，由于y＝f(t)的定义域为[1,2]，
∴1≤t≤2,1≤2x＋1≤2，解得0≤x≤.
即f(2x＋1)的定义域为.
(2)要使函数g(x)有意义，须使
即0≤x≤1
∴函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[0,1]．
☆☆☆
9．(10分)对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”．函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．
(1)证明：A?B；
(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.
解析： (1)证明：若A＝?，则A?B，
若A≠?，对于任意x0∈A，则f(x0)＝x0.
∴f[f(x0)]＝f(x0)＝x0，
∴x0∈B，∴A?B.
(2)∵A＝{－1,3}，
∴f(－1)＝－1，且f(3)＝3.
即
∴解得
∴f(x)＝x2－x－3.
∴f(f(x))＝(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x.
整理得(x2－3)(x2－2x－3)＝0.
∴x＝±或x＝－1或x＝3.
∴B＝{－，－1，，3}．
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