巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2013·潍坊摸底)命题p：?x∈R，x2－5x－6＜0，则( )
A．綈p：?x∈R，x2－5x＋6≥0
B．綈p：?x∈R，x2－5x＋6＜0
C．綈p：?x∈R，x2－5x＋6＞0
D．綈p：?x∈R，x2－5x＋6≥0
解析：特称命题的否定是全称命题．
答案：D
2．(2012·石家庄质检)已知命题p1：?x∈R，使得x2＋x＋1＜0；p2：?x∈[－1,2]，使得x2－1≥0.以下命题为真命题的为( )
A．綈p1∧p2 B．p1∧綈p2
C．綈p1∧綈p2 D．p1∧p2
解析：由题可知，命题p1为假命题，命题綈p2为真命题，因此綈p1∧綈p2为真命题．
答案：C
3．(2012·青岛二模)命题p：?x∈R，函数f(x)＝2cos2x＋sin2x≤3，则( )
A．p是假命题；綈p：?x∈R，f(x)＝2cos2x＋sin2x≤3
B．p是假命题；綈p：?x∈R，f(x)＝2cos2x＋sin2x＞3
C．p是真命题；綈p：?x∈R，f(x)＝2cos2x＋sin2x≤3
D．p是真命题；綈p：?x∈R，f(x)＝2cos2x＋sin2x＞3
解析：由题意得f(x)＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋2sin≤3，故命题p正确，再根据全称命题和特称命题的关系可得选项D正确．
答案：D
4．(2013·江西联考)命题p：若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角；命题q：定义域为R的函数f(x)在(－∞，0)及(0，＋∞)上都是增函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．则下列说法正确的是( )
A．“p且q”是假命题 B．“p或q”是真命题
C．綈p为假命题 D．綈q为假命题
解析：若a·b＜0，则a与b的夹角可能为平角，命题p为假命题；对于命题q，函数f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数，但f(x)在(－∞，＋∞)上不是增函数，故命题q也为假命题．故选项A正确．
答案：A
5．(2012·福建)下列命题中，真命题是( )
A．?x0∈R，ex0≤0
B．?x∈R,2x＞x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
解析：?x0∈R，ex0＞0，所以A错；当x＝2时，2x＝x2，因此B错；a＋b＝0中b可取0，而＝－1中b不可取0，因此，两者不等价，所以C错．
答案：D
6．已知命题p：?m∈R，m＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2 B．m≤－2或m＞－1
C．m≤－2，或m≥2 D．－2≤m≤2
解析：∵p∧q为假命题，∴p、q中至少有一个是假命题．若p是假命题，则m＞－1；若p是真命题，则m≤－1，且q必是假命题，即Δ＝m2－4×1≥0?m≤－2或m≥2，此时，m≤－2.综上可知，实数m的取值范围是m≤－2或m＞－1.
答案：B
二、填空题
7．(2013·苏北三市联考)若命题“?x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：∵?x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0是真命题，
∴(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4.
∴a－1＞2，或a－1＜－2.
∴a＞3，或a＜－1.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
8．已知命题p：?x∈R，ax2＋2x＋3＞0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是__________．
解析：因为命题綈p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2＋2x＋3＞0对一切x∈R恒成立，这时应有解得a＞，因此当命题p是假命题，即命题綈p是真命题时实数a的取值范围是a≤.
答案：
9．(2012·北京)已知f(x)＝m(x－2m)( x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：
①?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；
②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0.
则m的取值范围是__________．
解析：对条件①，g(x)＝2x－2＜0?x＜1，所以只需当x≥1时，f(x)＜0，所以m＜0，且即－4＜m＜，所以－4＜m＜0；对条件②，可知只需f(－4)＝m(－4－2m)(－4＋m＋3)＞0，解得m＜－2.综上可知：－4＜m＜－2.
答案：(－4，－2)
三、解答题
10．(2013·合肥联考)已知命题r (x)：sinx＋cosx＞m，命题s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对?x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．
解析：∵sinx＋cosx＝sin≥－，
∴当r(x)是真命题时，m＜－.
又∵对?x∈R，s(x)是真命题，即x2＋mx＋1＞0恒成立，
有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.
∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－，
同时m≤－2，或m≥2，即m≤－2，
当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－，且－2＜m＜2，
即－≤m＜2.
综上所述，m的取值范围是m≤－2，或－≤m＜2.
11．已知命题p：函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的方程x2＋2x＋loga＝0的解集只有一个子集，若p∨q为真，(綈p)∨(綈q)也为真，求实数a的取值范围．
解析：当命题p是真命题时，应有a＞1；当命题q是真命题时，关于x的方程x2＋2x＋loga＝0无解，所以Δ＝4－4loga＜0，解得1＜a＜.由于p∨q为真，所以p和q中至少有一个为真，又(綈p)∨(綈q)也为真，所以綈p和綈q中至少有一个为真，即p和q中至少有一个为假，故p和q中一真一假．p假q真时，a无解；p真q假时，a≥.
综上所述，实数a的取值范围是.
12．(2013·天津河西区检测)设命题p：函数f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定义域为R；命题q：?m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立；如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
解析：命题p：Δ＝16－4a2＜0?a＞2或a＜－2.
命题q：∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．
∵对m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立，
∴只须满足a2－5a－3≥3，解得a≥6或a≤－1.
命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则p与q一真一假．
①若p真q假，则?2＜a＜6；
②若p假q真，则?－2≤a≤－1，
综合①②，实数a的取值范围为[－2，－1]∪(2,6)．
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