一、选择题
1．若函数f(x)＝x(x∈R)，则函数y＝－f(x)在其定义域内是( )
A．单调递增的偶函数 B．单调递增的奇函数
C．单调递减的偶函数 D．单调递减的奇函数
[答案] D
2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是( )
A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝x2－
C．f(x)＝ D．f(x)＝x3
[答案] D
[解析] ∵对于A，f(－x)＝(－x)＋＝－(x＋)＝－f(x)；对于D，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
∴A、D选项都是奇函数．易知f(x)＝x3在(0,1)上递增．
3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)上的表达式为( )
A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2)
[答案] D
[解析] 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝x2＋2x.又f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
∴f(x)＝
∴f(x)＝x(|x|－2)．故选D.
4．(2012～2013泉州高一检测)f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是( )
A．f(0)f(2)
C．f(－1)f(0)
[答案] C
5．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f(2x－1)0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是______．
[答案] f(x1)>f(x2)
[解析] ∵x1<0，∴－x1>0，
又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．
此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然．
三、解答题
13．设函数f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．
[解析] 由条件知f(－x)＋f(x)＝0，
∴＋＝0，
∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，
∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得：－14，
∴只需使a4，
∴x1x2(x1＋x2)>16，
故a的取值范围是(－∞，16]．
15．设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．
[解析] (1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.
∵f(x)的图象过点A(2,2)，
∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，
∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.
设x∈(－∞，－2)，则－x>2，
∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.
又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，
即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．
(2)图象如图所示．
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．
单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．
单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．
16．已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)；
(2)证明f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f()＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．
[分析] (1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f [g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解．
[解析] (1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)证明：令y＝，得f(1)＝f(x)＋f()＝0，故f()＝－f(x)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11，故f()>0，从而f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由于f()＝－1，而f()＝－f(3)，故f(3)＝1.
在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得
f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
故所给不等式可化为f(x)＋f(x－2)≥f(9)，
∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤
又，∴2
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