上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：不等式
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
A． B． C． D．4
【答案】A
2．设，则下列不等式中恒成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
3．有下述说法：①是的充要条件. ②是的充要条件.
③是的充要条件.则其中正确的说法有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
4．若，则下列不等式恒成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
5．设满足约束条件，，，若目标函数的最大值为12则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
6．若，则下列不等式中一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
7．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )
A．4 B．11 C．12 D．14
【答案】B
8．若，且，则下列不等式一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
9．已知实数满足则的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
10．若实数x,y满足，则S=2x+y－1的最大值为 ( )
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
11．若变量x,y满足，则z=x+2y的最大值与最小值分别为( )
A． 1，﹣1 B．2，﹣2
C．1，﹣2 D．2，﹣1
【答案】B
12．已知a+b+c=0,ab+bc+ac的值( )
A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若对任意R,不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
14．若，则关于的不等式组的解集为 .
【答案】
15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，
下列命题中正确的是____________（写出所有正确命题的编号）
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②若k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．
【答案】①③⑤
16．已知实数满足不等式组,且的最小值为,则实数的值是 ．
【答案】m=6
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知关于的不等式的解集为.
(1)当时，求集合；
(2）当时,求实数的范围.
【答案】（1）当时，
(2）
不成立.又
不成立
综上可得，
18．如下图，互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园，要求点在射线上，点在射线上，且直线过点，其中米，米. 记三角形花园的面积为.
(Ⅰ）问：取何值时，取得最小值，并求出最小值；
(Ⅱ）若不超过1764平方米，求长的取值范围.
【答案】（1）设米（），则.
因为,所以，即.
所以
，当且仅当时取等号.
所以，的最小值等于1440平方米.
(2）由得.
解得.
所以，长的取值范围是.
19．某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，第二年是万元，第三年是万元，…，以后逐年递增万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用年的维修费用为，年平均费用为.
(1）求出函数，的解析式；
(2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？
【答案】（1）由题意知使用年的维修总费用为
= 万元
依题得
(2）
当且仅当 即时取等号
时取得最小值3 万元
答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3万元.
20．某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少要含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
【答案】设为该儿童分别预订个单位的午餐和个单位的晚餐，设费用为，则，由题意知：
即 画出可行域如图：
变换目标函数：，这是斜率为，随变化的一族平行直线，是直线在轴上的截距，当截距最小时，最小，由图知当目标函数过点，即直线与的交点时，取到最小值，即要满足营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐
21．已知关于x，y的二元一次不等式组
(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；
(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．
【答案】 (1)作出二元一次不等式组，表示的平面区域，如图所示：
由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小，
解方程组得C(－2,3)，
∴umin＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，
解方程组得B(2,1)，
∴umax＝3×2－1＝5.
∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.
(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．
由z＝x＋2y＋2，得y＝－x＋z－1，得到斜率为－，在y轴上的截距为z－1，随z变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z－1最小，即z最小，
解方程组得A(－2，－3)，
∴zmin＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.
当直线与直线x＋2y＝4重合时，截距 z－1最大，
即z最大，
∴zmax＝4＋2＝6.
∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.
22．解关于的不等式。
【答案】
为方程的两个根
(因为与1的大小关系不知，所以要分类讨论）
(1）当时，不等式的解集为
(2）当时，不等式的解集为
(3）当时，不等式的解集为
综上所述：
(1）当时，不等式的解集为
(2）当时，不等式的解集为
(3）当时，不等式的解集为
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