三维设计2013年高考数学二轮复习：导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数在区间内可导，且则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B[来源:]
2．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是( )
A．0秒 B．1秒末 C．2秒末 D．1秒末和2秒末
【答案】D
4．已知函数的定义域为，部分对应值如下表．的导函数的图象如图所示．
下列关于函数的命题：
① 函数是周期函数；
② 函数在是减函数；
③ 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④ 当时，函数有4个零点．
其中真命题的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
5．( )
A． B． C． D．
【答案】B
6．函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
7．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
8．已知函数的导数为0的值也使值为0，则常数的值为( )
A．0 B． C．0或 D．非以上答案
【答案】A
9．已知点P是曲线上的一个动点，则点P到直线l：的距离的最小值为( )
A．1 B． C． D．
【答案】B
10．曲线在点处的切线的斜率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
11．已知物体的运动方程为（是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为( )
A． B． C． D．
【答案】D
12．的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数的导函数为偶函数，则 .
【答案】0
14． .
【答案】
15．已知函数，当时函数f(x)的导数为零，f(-1)= ，则 ．
【答案】
16．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．某企业有一条价值为m万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的价值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足：①y与成正比；②当时，，③，其中a为常数，且.
(1）设，求出的表达式;
(2）求产值y的最大值，并求出此时x的值.
【答案】（1）y与（m－x）x成正比，
∴y＝f (x)=k (m－x)x2
又时， [来源: ]
∴ ∴k＝4
∴y＝f (x)＝4(m－x)x2
由得
∴
(2）∵
∴令
得
(i）若 即
当时，
∴在[0，m]上单调递增
当时，
由在[]上单调递减
∴当，
(i i）若 即时
当(0, )时，[来源: ]
∴在[0，]上单调递增
∴
综合（i）（i i）可知
当时，产值y的最大值为，此时投入的技术改造费用为；
当时，产值y的最大值为，此时投入的技术改造费用为；
18．已知函数，，（为实数）.
(1）当时，求函数在上的最小值；
(2）若方程（其中）在区间上有解，求实数的取值范围；
(3）证明：（参考数据：.
【答案】（1）当时，
令得
在上单调递减，在上单调递增
时
的最小值为
(2）在上有解在上有解在上有解
令
令
上单调递增，上单调递减，
又
即故
(3）设
由（1），可得
构造函数
当时，在上单调递减，
即
当时，
[来源: ]
即
故
19．已知函数，且其导函数的图像过原点.
(1)当时，求函数的图像在处的切线方程;
(2)若存在，使得，求的最大值；
(3)当时，求函数的零点个数。
【答案】 ,
由得 ,.
(1) 当时, ,，,
所以函数的图像在处的切线方程为,即
(2) 存在,使得,
，，
当且仅当时，所以的最大值为.
(3) 当时，的变化情况如下表：
的极大值，
的极小值
又，.
所以函数在区间内各有一个零点，
故函数共有三个零点。
注：①证明的极小值也可这样进行:
设，
则
当时, ,当时, ,
函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,
故函数在区间上的最大值为,
从而的极小值.
②证明函数共有三个零点。也可这样进行:的极大值，
的极小值,
当无限减小时，无限趋于 当 无限增大时，无限趋于
故函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点。
20．已知函数．
(1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
(2）若函数在处取得极值，对,恒成立，
求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ），
当时，在上恒成立，函数 在单调递减，
∴在上没有极值点；
当时，得，得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点．
(Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，
∴，[来源: ]
令，可得在上递减，在上递增，
∴，即．
21．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0
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