上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：数列
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知的前n项和( )
A．?67 B．?65 C．?6l D．?56
【答案】A
2．在等差数列中，公差d=1,,则的值为( )
A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】B
3．在等比数列中，，公比|q|≠1，若,则=( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
4．等差数列的前n项和为，若，则下列结论：
①???②??? ③??? ④
其中正确结论是( )
A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
【答案】A
5．设Sn为数列的前n项之和，若不等式对任何等差数列及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为( )
A．0 B． C． D．1
【答案】B
6．已知{an}是等比数列，,则公比q=( )
A． B．-2 C．2 D．
【答案】D
7．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
8．在等比数列中，，则( )
A． B． C． 或 D． －或－
【答案】C
9．已知等差数列的前项和为，若，且，则等于( )
A．38 B．20 C．10 D．9
【答案】C
10．数列中，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
11．如果为递增数列，则的通项公式可以为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
12．等比数列｛an｝的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若，则等于( )
A． B．1 C．- D．不存在
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知是公比为实数的等比数列,若,且成等差数列,则____________.
【答案】
14．观察下列等式：
可以推测：____________ (，用含有n的代数式表示)
【答案】
15．已知数列中，（），则
【答案】2
16．已知数列的前n项和为，则这个数列的通项公式为____________
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知数列的前和为，其中且
(1) 求；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。
【答案】 (1)a= 且a= S=n(2n-1)a
当n=2时,+ ,
当n=3时,,
(2) 猜想：
证明：i) 当n=1时,成立
ii）假设当n=k()时,成立，
那么当n=k+1时 ,S=(k+1)
S=k(2k-1)
两式相减得：
成立
由i)、 ii）可知对于n都成立。
18．数列的前n项和为,已知,数列满足
且,
(1)分别求出数列和数列的通项公式；
(2)若数列满足求数列的前n项和；
(3)设,当为奇数时,试判断方程是否有解,若有请求出方程的解,若没有,请说明理由.
【答案】(1)当时,,
当时,,所以
又时,,所以
因为,所以为等比数列
又,所以公比为2,首项为2,所以
(2)当为偶数时,
当为奇数时，为偶数，
所以
即
(3)设
所以当时, ,此时单调递增.
又,,
所以原方程无解.
19．某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）。
(Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
(Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
【答案】（Ⅰ）依题设，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；
Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]-600=500n--100.
(Ⅱ）Bn-An=(500n--100)-(490n-10n2)
=10n2+10n--100=10[n(n+1)- -10].
因为函数y=x(x+1)- -10在（0，+∞）上为增函数，
当1≤n≤3时，n(n+1)- -10≤12--10<0；
当n≥4时，n(n+1)- -10≥20--10>0.
∴仅当n≥4时，Bn>An.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
20．已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，
2Sn＝an an＋1＋r．
(1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由；
(2）设，，
若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式恒成立．
【答案】（1）n＝1时，2a1＝a1 a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，．
n≥2时，2Sn＝an an＋1＋r，① 2Sn－1＝an－1 an＋r，②
①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2．
则a1，a3，a5，…，a2n－1，… 成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．
a2，a4，a6，…，a2n，… 成公差为2的等差数列， a2n＝a2＋2(n－1)．
要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1．即．r＝c－c2．
∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．
∵当c＝－2，，不合题意，舍去.
∴当且仅当时，数列为等差数列
(2）＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝－2．
＝[a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－()．
∴
．
＝．
∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．∴0＜＜1．
又∵r＞c＞4，∴，则0＜；．
∴＜1．．∴＜1．
所以：
又＞－1．
所以：
综上，对于一切n∈N*，不等式恒成立．
21．已知函数, 数列满足: ,
?? 证明 (Ⅰ) ?;??
(Ⅱ) ?.
【答案】 (I）先用数学归纳法证明，ｎ＝1,2,3,…
????????? (i)当n=1时,由已知显然结论成立.
????????? (ii)假设当n=k时结论成立,即.因为0时
,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续,
从而.故n=k+1时,结论成立.
由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立.
又因为时，，
所以，综上所述．
(II）设函数，．由（I）知，当时， ，
从而
所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0,
? 所以当时，g (x)>0成立.于是．
故．
22．已知数列是递增的等比数列，且．
(1）求数列的通项公式;
(2）若,求证数列是等差数列;
(3）若，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）由 知是方程的两根,注意到
得 ．
得．
等比数列．的公比为,
(Ⅱ）
∵
数列是首相为3,公差为1的等差数列．
(Ⅲ），
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