三维设计2013年高考数学二轮复习：数系的扩充与复数的引入
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知i为虚数单位，a为实数，复数在复平面内对应的点为M，则“”是“点M在第四象限”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条
【答案】A[来源:]
2．复数（是虚数单位）的虚部是( )[来源: ]
A． B． C． D．
【答案】C
3．满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
【答案】C
4．定义运算(，)※(c,d)＝－bd，则符合条件(z，1＋2)※(1＋，1－)＝0的复数z的所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
5．复数等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
6．设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是( )
A．ad－bc=0 B．ac－bd=0 C． ac+bd=0 D．ad+bc=0
【答案】D
7．复数的实部与虚部之和为( )
A． B．0 C．1 D．2[来源: ]
【答案】B
8．复数满足,其中为虚数单位,则( )
A． B． 1 C． D． [来源: ]
【答案】D
9．若复数（i是虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a等于( )
A．-1 B． C． D．3
【答案】D
10．复数等于( )
A．3-4i B．5-4i C．3-2i D．5-2i
【答案】A
11．是虚数单位，复数等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
12．为虚数单位，复平面内表示复数的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数（其中i是虚数单位），且θ∈［0,2π)，则θ的值为 。
【答案】
14．复数的值＝____________.
【答案】
15．已知是虚数单位，复数，则等于____________．
【答案】
16．设复平面上关于实轴对称的两点Z1，Z2所对应的复数为z1，z2，若z1－(3z2－1)i＝[z2＋(2＋z1)i] i，则z1z2＝ ．
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知，其中，且为纯虚数．
(1）求的对应点的轨迹；
(2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）设，
则，
为纯虚数，
即
的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去两点；
(2）由的轨迹可知，，
，圆心对应，半径为3，
的最大值为：，
的最小值为：．
18．实数m为何值时，复数z=(m2+5m+6)+（m2-2m-15）i 对应的点在：
(1）x轴上方；
(2）直线x+y+5=0上.
【答案】(1)若复数Z对应的点在x轴上方，则m2-2m-15>0,解得m<－3或m>5
(2)复数z对应的点为（m2+5m+6，m2-2m-15），∵z对应的点在直线x+y+5=0上，∴（m2+5m+6）+（m2-2m-15）+5=0，整理得2m2+3m-4=0，解得m=（-3±）×
19．已知，且以下命题都为真命题：
命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数；
命题 存在复数同时满足且.
求实数的取值范围.
【答案】由命题为真，可得;
由命题为真，可知复平面上的圆和圆有交点，
于是由图形不难得到，
故两个命题同时为真的实数的取值范围是.
20．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线
Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)
与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．
【答案】曲线方程为：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)
∴ x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t．(0≤x≤1)
y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx2
即 y=(a－2b+c)x2+2(b－a)x+a (0≤x≤1)． ①
若a－2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a－2b+c(0．于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线．
AB中点M：+(a+b)i，BC中点N：+(b+c)i．
与AC平行的中位线经过M(，(a+b))及N(，(b+c))两点，其方程为
4(a－c)x+4y－3a－2b+c=0．(≤x≤)． ②
令 4(a－2b+c)x2+8(b－a)x+4a=4(c－a)x+3a+2b－c．
即4(a－2b+c)x2+4(2b－a－c)x+a－2b+c=0．由a－2b+c(0，得
4x2+4x+1=0，
此方程在[，]内有惟一解： x=．
以x=代入②得， y=(a+2b+c)．
∴ 所求公共点坐标为(，(a+2b+c))．
21．已知x是实数，y是纯虚数，且满足，求x与y的值．
【答案】设代入条件并整理得，
由复数相等的条件得，解得．
∴，．[来源: ]
22．已知复数，且为纯虚数．
(1）求复数；
(2）若，求复数的模．
【答案】（1）
是纯虚数
，且
，
(2）
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