武汉科技大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破：选考内容
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式|x-1|+|x-2|≥5的解集为( )
A．﹛x|x≤-1或x≥4﹜ B．﹛x|x≤1或x≥2﹜
C．﹛x|x≤1﹜ D．﹛x|x≥2﹜
【答案】A
2．不等式3≤l5 - 2xl<9的解集是( )
A．（一∞，-2)U(7,+co) B．
C．[-2,1】U【4,7】 D．
【答案】D
3．已知，若的必要条件是，则 之间的关系是( )
A． B． C． D．
【答案】A
4．函数取得最小值时x为( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B
5．不等式的解集是( )
A． B． C．（1，5） D．（3，9）
【答案】B
6．不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
7．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于( )
A． 70° B． 35° C． 20° D． 10°
【答案】C
8．下列四个命题中：①；②；③设x，y都是正数，若＝1，则x＋y的最小值是12；④若｜x－2｜＜，｜y－2｜＜，则｜x－y｜＜2，则其中所有真命题的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
9．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
10．在中，，将分成面积相等的两部分，那么( )
A． B． C． D．
【答案】C
11．不等式的解集为( )
A．（0，2）
B．（－2，0）∪（2，4）
C．（－4，0） D．（－4，－2）∪（0，2）
【答案】D
12．柱坐标（2，，1）对应的点的直角坐标是( )
A．() B．() C．() D．()
【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．圆（为参数）的极坐标方程为 ．
【答案】
14．行列式（）的所有可能值中，最大的是 。
【答案】6
15．已知曲线的方程为为参数），过点作一条倾斜角为的直线交曲线于、两点，则的长度为
【答案】16
16．不等式的解集是 .
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程为．
(Ⅰ）求曲线C的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ）设曲线C和曲线的交点为、，求．
【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．
(Ⅱ）曲线可化为，表示圆心在，半径的圆，
则圆心到直线的距离为，所以．
18．已知实数x，y满足：求证：．
【答案】∵，
由题设∴。∴。
19．设M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．
【答案】MN=,
设是曲线上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为．
则，所以即
代入得：，即．
即曲线在矩阵MN变换下的曲线方程为．
20． 如图, 内接于⊙, 是⊙的直径, 是过点的直线, 且.
(Ⅰ) 求证: 是⊙的切线;
(Ⅱ)如果弦交于点, , , , 求.
【答案】（Ⅰ） 为直径，
为直径，为圆的切线
(Ⅱ）
∽
∽
在直角三角形中
21．已知ABC中，AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧AC弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。
(1）求证：AD的延长线平分CDE；
(2）若BAC=30°，ABC中BC边上的高为2+，
求ABC外接圆的面积。
【答案】（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点，∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC， 又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,即AD的延长线平分∠CDE.
(Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750,
∴∠OCH=600.设圆半径为r,则r+r=2+,得r=2,外接圆的面积为4。
22．已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，
(1）求实数a的值；
(2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.
【答案】（1）由=， ∴.
(2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为
令，得矩阵的特征值为与4.
当时，
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为
当时，
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为.
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