课时提能演练(十三)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
(A)200副 (B)400副
(C)600副 (D)800副
2.某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售完,定价每提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件( )
(A)100元 (B)110元 (C)150元 (D)190元
3.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
4.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( )
(A)y=0.2x (B)y=(x2+2x)
(C)y= (D)y=0.2+log16x
5.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(近似抛物线的一段)，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
6.(易错题)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0＜a＜12)、4 m，不考虑树的粗细.现在想用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD,设此矩形花圃的面积为S m2,S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是( )
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是_________.
8.(2012·杭州模拟)生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，(A)对应________；(B)对应________；(C)对应________；(D)对应________．
9.(2012·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过____min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·武汉模拟)我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应量p与关税的关系近似满足p(x)=(其中t为关税的税率，
t∈［0, )，x为市场价格，b,k为正常数)，当t=时的市场供应量曲线如图所示.
(1)根据图象，求b,k的值;
(2)记市场需求量为a，它近似满足a(x)= ，当p=a时的市场价格称为市场平衡价格.
当市场平衡价格控制在不低于9元时,求关税税率的最小值.
11.( 2012·衡阳模拟)某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：①y与a-x和x的乘积成正比；②x=时，y=a2；③0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0,1].
(1)设y＝f(x)，求f(x)表达式，并求y=f(x)的定义域；
(2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入资金.
【探究创新】
(16分)某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减.
(1)下列几个模拟函数中(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销量,单位:升),用哪个模拟函数来描述年人均A饮料销量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由.①y=ax2+bx,②y=kx+b,③y=logax+b,④y=ax+b.
(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销量为2升，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销量最多是多少?
答案解析
1.【解析】选D.利润z=10x-y=10x-(5x+4 000)≥0.
解得x≥800.
2.【解题指南】关键是将利润表示为提高售价的函数.
【解析】选D.设售价提高x元,则依题意得
y=(1 000-5x)×(20+x)=-5x2+900x+20 000
=-5(x-90)2+60 500.
故当x=90时,ymax=60 500,此时售价为每件190元.
3.【解析】选C.由图象知张大爷离家的距离(y)与行走时间(x)的关系，开始越来越远，中间保持不变，最后越来越近直至到家，结合选项的图形验证知C吻合.
4.【解析】选C.由已知数据逐个验证知C较接近.
5.【解析】选C.求得:y=-(x-6)2+11,
=12-(x+)≤12-10=2,
∴有最大值2，此时x=5.
【方法技巧】函数y=x+(a>0)最值的求法：
(1)直接利用此函数的图象，观察求解；
(2)利用基本不等式求解，一定要注意等号成立的条件，如果等号取不到，则可求导判断该函数的单调性，利用函数的单调性求最值；
(3)先利用增减函数的定义或求导来判断函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最值．
6.【解析】选C.设矩形花圃的长为x m(a≤x＜12),则此矩形花圃的面积S(x)=x(16-x)=64-(x-8)2,①当0＜a≤8时,S(x)max=S(8)=64;②当8＜a＜12时,
S(x)max=S(a)=64-(a-8)2,
故u=f(a)=
故函数u=f(a)的图象大致是C.
【误区警示】本题易忽视S(x)的定义域为［a,12),进而再忽视对a的讨论,而误选A.
7.【解析】总利润L(Q)=40Q-Q2-10Q-2 000
=-(Q-300)2+2 500.
故当Q=300时,总利润最大值为2 500万元.
答案：2 500万元
8.【解析】A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快,故与(4)对应；
B容器为球形，水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应；
C、D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快,与(3)对应，D容器慢,与(2)对应.
答案:(4) (1) (3) (2)
9.【解析】当t=0时，y=a，
当t=8时,y=ae-8b=a，∴e-8b=,
容器中的沙子只有开始时的八分之一时,
即y=ae-bt=a,
e-bt==(e-8b)3=e-24b,
则t=24,所以再经过16 min.
答案：16
10.【解析】(1)由图象,知
即
由≠0，解得b=5,k=6.
(2)p=a时,有
即(1-6t)(x-5)2=11-,
2(1-6t)= .
由x≥9,得x-5≥4,即0＜≤.
令m=，则2(1-6t)=17m2-m(m∈(0, ］).
由二次函数的性质得
当m=时,2(1-6t)max=,
则1-6t≤,t≥.
所以关税税率的最小值为.
11. 【解析】(1)设y=k(a-x)x,当x=时，y=a2,
可得：k=4,∴y=4(a-x)x.
∵0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0,1].
∴定义域为[0,]，t为常数，且t∈[0,1].
(2)y=4(a-x)x=-4(x-)2+a2,
当时，即≤t≤1，x=时，ymax＝a2.
当,即0≤t<,y=4(a-x)x在[0,]上为增函数.
∴当x=时，.
综上，当≤t≤1，投入x=时，附加值y最大，为a2万元；
当0≤t<，投入x=时,附加值y最大，为万元.
【探究创新】
【解析】(1)用函数y=ax2+bx来描述年人均A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适.因为函数y=kx+b,y=logax+b,y=ax+b在其定义域内都是单调函数,不具备先递增后递减的特征.
(2)依题意知,函数图象过点(1,2)和(4,5),
则有解得
∴y=-x2+x(0.5≤x≤8).
∵y=-x2+x=-(x-)2+,
∴在各个地区中,当x=时,年人均A饮料销量最多是升.
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