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课时提能演练(十三)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
(A)y＝2x＋1 (B)y＝2x－1
(C)y＝－2x－3 (D)y＝－2x－2
2.(2012·宁波模拟)若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( )
(A)2 (B)0 (C)－2 (D)－4
3.y＝sinx＋tcosx在x＝0处的切线方程为y＝x＋1，则t等于( )
(A)1 (B)2 (C)－1 (D)0
4.(预测题)已知函数f(x)＝xlnx.若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为( )
(A)x＋y－1＝0 (B)x－y－1＝0
(C)x＋y＋1＝0 (D)x－y＋1＝0
5.(2012·杭州模拟)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
(A)[0，) (B)[，)
(C)(，] (D)[，π)
6.已知函数f(x)＝(1－)ex(x＞0)，其中e为自然对数的底数.当a＝2时，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的面积为( )
(A)e (B)2e (C)3e (D)4e
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·哈尔滨模拟)等比数列{an}中，a1＝1，a2 012＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a2 012)，则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为 .
8.若函数f(x)＝4lnx，点P(x，y)在曲线y＝f′(x)上运动，作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM(O为坐标原点)的周长的最小值为 .
9.函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知函数f(x)满足如下条件：当x∈(－1,1]时，f(x)＝ln(x＋1)，且对任意x∈R，都有f(x＋2)＝2f(x)＋1.
(1)求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求当x∈(2k－1,2k＋1]，k∈N*时，函数f(x)的解析式.
11.(易错题)函数f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a为常数，且函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求此时平行线的距离.
【探究创新】
(16分)已知曲线Cn：y＝nx2，点Pn(xn，yn)(xn＞0，yn＞0)是曲线Cn上的点(n＝1,2，…).
(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；
(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn，yn).
答案解析
1.【解析】选A.因为y′＝，所以，在点(－1，－1)处的切线斜率k＝
y′|x＝－1＝＝2，所以，切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1，故选A.
2.【解题指南】对f(x)求导时要注意到f′(1)为常数，先求出f′(1)，再求
f′(0).
【解析】选D.f′(x)＝2f′(1)＋2x，
∴令x＝1，得f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
3.【解析】选A.∵y′＝cosx－tsinx，当x＝0时，y＝t，y′＝1，∴切线方程为y＝x＋t，比较可得t＝1.
4.【解析】选B.f′(x)＝lnx＋1，x＞0，设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x0lnx0，切线的斜率为lnx0＋1，所以lnx0＋1＝，解得x0＝1，y0＝0，所以直线l的方程为x－y－1＝0.
5.【解析】选D.∵y＝，
∴y′＝
＝＝－1.
当且仅当，即x＝0时，“＝”成立.
又y′＜0，∴－1≤y′＜0.
∵倾斜角为α，则－1≤tanα＜0，
又α∈[0，π)，∴≤α＜π，故选D.
6.【解析】选B.f′(x)＝ex，
当a＝2时，f′(x)＝ex，
f′(1)＝×e1＝e，f(1)＝－e，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝ex－2e，切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0)，(0，－2e)，所以，所求面积为×2×|－2e|＝2e.
7.【解析】f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a2 012)＋x·(x－a2)(x－a3)…(x－a2 012)＋x(x－a1)(x－a3)…(x－a2 012)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a2 011)，
∴f′(0)＝(－a1)·(－a2)…(－a2 012)＝(a1a2 012)1 006＝22 012，
∴切线方程为y＝22 012x.
答案：y＝22 012x
【变式备选】已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程.
【解析】f′(x)＝，g′(x)＝(x＞0)，由已知得：，解得a＝e，x＝e2.
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，
切线的斜率为k＝f′(e2)＝，
所以切线的方程为y－e＝(x－e2)，
即x－2ey＋e2＝0.
8.【解析】f′(x)＝(x>0)，∴P(x，)，M(x,0)，
∴△POM的周长为x＋＋≥2＋＝4＋2(当且仅当x＝2时取得等号).
答案：4＋2
9.【解析】由y＝x2(x>0)，得y′＝2x，
所以函数y＝x2(x>0)在点(ak，ak2)处的切线方程为：y－ak2＝2ak(x－ak)，当y＝0时，解得x＝所以ak＋1＝，a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
答案：21
10.【解析】 (1)x∈(－1,1]时，f(x)＝ln(x＋1)，
f′(x)＝，
所以，函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，即y＝x.
(2)因为f(x＋2)＝2f(x)＋1，所以，当x∈(2k－1，2k＋1]，k∈N*时，x－2k∈(－1,1]，
f(x)＝2f(x－2)＋1
＝22f(x－4)＋2＋1
＝23f(x－6)＋22＋2＋1
＝…
＝2kf(x－2k)＋2k－1＋2k－2＋…＋2＋1
＝2kln(x－2k＋1)＋2k－1.
11.【解析】f′(x)＝aex，g′(x)＝，y＝f(x)的图象与坐标轴的交点为(0，a)，y＝g(x)的图象与坐标轴的交点为(a,0)，由题意得f′(0)＝g′(a)，即a＝.
又∵a＞0，∴a＝1.
∴f(x)＝ex，g(x)＝lnx，∴函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线方程分别为：x－y＋1＝0，x－y－1＝0，∴两平行切线间的距离为.
【方法技巧】求曲线的切线方程
求曲线的切线方程，一般有两种情况：
(1)求曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线，此时曲线斜率为f′(x0)，利用点斜式可得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；
(2)求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，此时需要设出切点A(xA，yA)，表示出切线方程，再把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，解得xA，进而写出切线方程.
【变式备选】已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a＜b).
(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程.
(2)设x1，x2是f′(x)＝0的两个根，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.
证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后成等差数列，并求x4.
【解析】(1)当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)，
因为f′(x)＝(x－1)(3x－5)，故f′(2)＝1，f(2)＝0，
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y＝x－2.
(2)因为f′(x)＝3(x－a)( x－)，
由于a
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