2.2 函数的单调性与最值
一、选择题
1．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析： ∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)＜f(1)，
∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.
答案： D
2．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)的单调增区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1]
C．(－∞，0) D．(－∞，－1]
解析： 二次函数的对称轴为x＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．
答案： C
3．函数y＝2x2－(a－1)x＋3在(－∞，1]内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增，则a的值是( )
A．1 B．3
C．5 D．－1
解析 依题意可得对称轴x＝＝1，∴a＝5.
答案 C
4．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )．
A. B.
C. D.
解析 由f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，可得化简得0＜a≤.
答案 A
5．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
解析：∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，
∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．
答案：B
6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为( )．
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析 f(x)＝
? f(x)＝
f(x)的图象如上图所示，因此f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
答案 C
7．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定( )．
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
解析 由题意a＜1，又函数g(x)＝x＋－2a在[，＋∞)上为增函数，故选D.
答案 D
二、填空题
8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是_______．
解析：y＝－(x－3)|x|
＝
作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.
答案：
9．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________．
解析 ①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上为减函数；②当a＞0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝必在x＝3的右边，即≥3，故0＜a≤；③当a＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是.
答案
10．若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)0.∴m>1或m<－2.
答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)
11. 已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是________．
解析 ∵当x≥1时，y＝logax单调递减，∴0＜a＜1；
而当x＜1时，f(x)＝(3a－1)x＋4a单调递减，∴a＜；
又函数在其定义域内单调递减，故当x＝1时，(3a－1)x＋4a≥logax，得a≤，
综上可知，≤a＜.
答案 .≤a＜
12．已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；
②函数f(x)在R上是单调函数；
③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；
④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜
.
其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．
解析 (数形结合法)根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)＞0在上恒成立，则2a×－1＞0，a＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1＜0，x2＜0
且x1≠x2，恒有f＜成立，
故④正确．
答案 ①③④
【点评】 采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解，此题充分体现了数形结合法的直观性与便捷性.
三、解答题
13．求函数y＝a1－x2(a>0且a≠1)的单调区间．
解析：当a>1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；
当00，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
解析 (1)证明：方法一：设x2>x1>0，
则x2－x1>0，x1x2>0.
∵f(x2)－f(x1)＝－
＝－＝>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
方法二：∵f(x)＝－，
∴f′(x)＝′＝>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
(2)∵f(x)在上的值域是，
又f(x)在上单调递增，
∴f＝，f(2)＝2，∴a＝.
15．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
(1)证明 任设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)解 任设1＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a＞0，x2－x1＞0，
∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0在(1，＋∞)内恒成立，∴a≤1.综上知0＜a≤1.
16．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
解析 (1)证明 设x1，x2∈R，且x10，∴f(x2－x1)>1.
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的增函数．
(2) ∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3，
∴原不等式可化为f(3m2－m－2)
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