课时提能演练(六)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.(2012·西安模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(-1,0)上单调递增的函数是( )
(A)y=|x|-1 (B)y=x2+1
(C)y=2-|x| (D)y=-cosx
2.(2011·山东高考)对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为3,且x∈(-,0)时,f(x)=log2(-3x+1),则f(2 011)=( )
(A)-2 (B)2 (C)4 (D)log27
4.已知偶函数f(x)在(0,+∞)上的图像如图,则下列函数中与f(x)在(-∞,0)上单调性不同的是( )
(A)y=lg|x| (B)y=|2x-1|
(C)y= (D)y=
5.函数f(x)对任意的x∈R,恒有f(x+2)=-f(x),且f(1)=2,则f(11)
=( )
(A)-2 (B)2 (C)0 (D)1
6.(2012·铜川模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
(A)f(-25)0.
(1)求f();
(2)证明:y=f(x)是周期函数.
【探究创新】
(16分)设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M(MD),有x+l∈D,且f(x+l)≥f(x),则称f(x)为M上的l高调函数.
(1)如果定义域为[-1,+∞)的函数f(x)=x2为[-1,+∞)上的m高调函数,求实数m的取值范围.
(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=|x-a2|-a2,且f(x)为R上的4高调函数,求实数a的取值范围.
答案解析
1.【解析】选C.所给函数中均为偶函数,但y=|x|-1和y=x2+1及y=-cosx在(-1,0)上均为减函数,只有y=2-|x|符合要求.
2.【解析】选B.y=f(x)是奇函数,则图像关于原点对称,所以y=|f(x)|的图像关于y轴对称,反之,y=|f(x)|的图像关于y轴对称,y=f(x)不一定为奇函数.
3.【解析】选A.由已知f(2 011)=f(670×3+1)=f(1)
=-f(-1)=-log2(3+1)=-2.
4.【解题指南】先利用偶函数图像的性质,判断出f(x)在(-∞,0)上的单调性,再逐个验证其是否不同即可.
【解析】选C.由图像知f(x)在(-∞,0)上单调递减;而A中y=lg|x|在
(-∞,0)上为减函数,B中y=|2x-1|在(-∞,0)上为减函数,C中函数在(-∞,0)上为增函数,D中函数在 (-∞,0)上为减函数,故选C.
5.【解析】选A.由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的函数,
∴f(11)=f(8+3)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-2.
6.【解题指南】求解的关键是根据f(x-4)=-f(x)探究出f(x)的对称性及周期性,然后根据其周期性、对称性,将待比较函数变量转化到[-2,2]上,进而利用单调性比较出其大小.
【解析】选D.∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),即-f(x-4)=f(x),
∴f(4-x)=f(x),所以函数图像关于x=2对称,
且f(0)=0,又由已知得
f(x-8)=f((x-4)-4)=-f(x-4)=f(x),
故函数是以8为周期的周期函数,
∴f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)=f(4-1)=f(1),
由于奇函数f(x)在[0,2]上是增函数,
∴f(x)在[-2,2]上为增函数,
故f(-1)0,
所以f()=.
(2)因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于x=1对称.
所以f(-x)=f(x),f(-x)=f(x+2)
即f(x)=f(x+2),
所以y=f(x)是周期为2的周期函数.
【变式备选】已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,若对任意的a、
b∈[-1,1],当a+b≠0时,总有>0.
(1)判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;
(2)解不等式:f(x+1)0,
而x1-x2<0,故f(x1)
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