课时提能演练(六)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
(A)y=-x3,x∈R (B)y=sinx,x∈R
(C)y=x,x∈R (D)y=()x,x∈R
2.(2012·常德模拟)已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1+x);当x<0时，f(x)等于( )
(A)-x(1-x) (B)x(1-x)
(C)-x(1+x) (D)x(1+x)
3.f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=( )
(A)-b+4 (B)-b+2 (C)b-4 (D)b+2
4.函数y=lg(-1)的图象关于( )
(A)x轴成轴对称图形
(B)y轴成轴对称图形
(C)直线y=x成轴对称图形
(D)原点成中心对称图形
5.(预测题)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是( )
6.已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)=f(x-1),若f(1)=2,则f(2 013)的值为( )
(A)2 (B)0 (C)-2 (D)±2
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·邵阳模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数，若方程2f(x)+1=0有五个不同的实根x1、x2、x3、x4、x5,则x1+x2+x3+x4+x5=_______.
8.(2011·广东高考)设函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a) =______.
9.(易错题)设f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，下面关于f(x)的判定：其中正确命题的序号为_______.
①f(4)=0;
②f(x)是以4为周期的函数；
③f(x)的图象关于x=1对称；
④f(x)的图象关于x=2对称.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.设定义在［-2,2］上的奇函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.
11.(2012·珠海模拟)已知函数f(x)=a-是偶函数，a为实常数.
(1)求b的值；
(2)当a=1时，是否存在n>m>0,使得函数y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］，若存在，求出m,n的值，否则，说明理由.
(3)若在函数定义域内总存在区间［m,n］(m0，∵f(x)为奇函数，∴f(x)=-f(-x) =-[-x(1-x)]=x(1-x).
3.【解析】选A.∵函数f(x),g(x)均为奇函数，
∴f(a)+f(-a)=0,g(a)+g(-a)=0,
∴F(a)+F(-a)=3f(a)+5g(a)+2+3f(-a)+5g(-a)+2=4,
∴F(-a)=4-F(a)=4-b.
4.【解题指南】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性，从而利用奇偶性判断其图象的对称性.
【解析】选D.函数y=f(x)=lg(-1)=lg,
∴函数y=f(x)的定义域为(-1,1),
又∵f(-x)=lg
=-lg=-f(x),
∴y=lg(-1)为奇函数.
∴其图象关于原点成中心对称图形.
5.【解析】选A.因为f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0，a≠1)为R上的奇函数，
∴f(0)=(k-1)-1=0,得k=2,
∴f(x)=ax-a-x.
又∵f(x)为R上的减函数，∴00,
得f(m)>-f(m-1),
即f(1-m)m>0,
∴y=f(x)在区间［m,n］上是增函数.
因y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］.∴有
即方程1-=x,也就是2x2-2x+1=0有两个不相等的正根.
∵Δ=4-8<0,∴此方程无解.故不存在正实数m,n满足题意.
(3)由(1)，可知f(x)=a-(D=(-∞,0)∪(0,+∞)).考察函数f(x)=a-的图象，
可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数，
f(x)在区间(-∞,0)上是减函数.
因y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］，故必有m、n同号.
①当0(此时，m、n(m.
【变式备选】已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t;若不存在，请说明理由.
【解析】(1)∵f(x)=ex-()x,且y=ex是增函数，
y=-()x是增函数，所以f(x)是增函数.
由于f(x)的定义域为R，
且f(-x)=e-x-ex=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,
∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立
?f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立
?x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立
?t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立
?(t+)2≤
?(t+)2≤0?t=-.
即存在实数t=-,
使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.
【探究创新】
【解析】(1)f(x)=x2(x≥-1)的图象如图(1)所示，要使得f(-1+m)≥f(-1)，有
m≥2；x≥-1时，恒有f(x+2)≥f(x)，故m≥2即可.所以实数m的取值范围为［2,+∞)；
(2)由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图象如图(2)所示，
∵f(3a2)=a2=f(-a2)，
由f(-a2+4)≥f(-a2)=a2=f(3a2)，
故-a2+4≥3a2，从而a2≤1，
又a2≤1时，恒有f(x+4)≥f(x)，故a2≤1即可．
所以实数a的取值范围为［-1,1］.
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