巩固双基,提升能力
一、选择题
1．函数f(x)＝是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：由得－1＜x＜1，且x≠0.
∴函数f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,1)．
∵f(x)＝＝，
∴f(－x)＝＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
答案：A
2． (2012·福建)设函数D(x)＝则下列结论错误的是( )
A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数
C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数
解析：显然A，D是对的．若x是无理数，所以－x也是无理数；若x是有理数，则－x也是有理数，则D(－x)＝D(x)，所以D(x)是偶函数，B对．对于任意有理数T，f(x＋T)＝f(x)(若x是无理数，则x＋T也是无理数；若x是有理数，则x＋T也是有理数)，故C不对．
答案：C
3．(2012·山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( )
A．335 B．338
C．1 678 D．2 012
解析：由f(x＋6)＝f(x)可知函数是周期为6的周期函数，又因为当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x可知，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，故而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，故而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝335×1＋f(1)＋f(2)＝338.
答案：B
4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析：由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f (－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.
答案：D
5．(2013·太原五中月考)若函数f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )[]
A．f(2)＜f(3)＜g(0) B．g(0)＜f(3)＜f(2)
C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3)
解析：由题意，得
解得故g(0)＝－1，f(x)为R上的增函数，0＜f(2)＜f(3)，故g(0)＜f(2)＜f(3).
答案：D
6．(2013·曲阜师大附中质检)若偶函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上单调递减，则( )
A．f＜f＜f
B．f＜f＜f
C．f＜f＜f
D．f＜f＜f
解析：由f(x＋1)＝－f(x)，知f(x)是周期函数，且最小正周期为2.
故f＝f＝f＝f，
f＝f＝f，
f＝f＝f＝f.
又因为＞＞，所以f＜f＜f.
答案：B
二、填空题
7．(2012·上海)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝__________.
解析：令h(x)＝f(x)＋x2，∴h(1)＝f(1)＋1＝2.
h(－1)＝f(－1)＋1＝－2，∴f(－1)＝－3，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
答案：－1
8．(2013·银川质检)已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图像如图所示，那么不等式xf(x)＜0的解集为__________．
解析：当0＜x＜3时，由图像知，满足xf(x)＜0的解为：
0＜x＜1，由奇函数的对称性可求.
答案：(－1,0)∪(0,1)
9．(2012·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝，其中a，b∈R，若f＝f，则a＋3b的值为______________．
解析：由题意得，f()＝f()＝f(－)，
所以＝－a＋1，∴a＋b＝－1.①
又f(－1)＝f(1)，∴b＝－2a.②
解①②得a＝2，b＝－4，∴a＋3b＝－10.
答案：－10
三、解答题
10．(2013·曲阜师大附中质检)定义域为[－1,1]的奇函数f(x)满足f(x)＝f(x－2)，且当x∈(0,1)时，f(x)＝2x＋.
(1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；
(2)求函数f(x)的值域．
解析：(1)当x＝0时，f(0)＝－f(0)，故f(0)＝0.
当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，
f(x)＝－f(－x)＝－(－2x＋)＝2x－.
若x＝－1时，f(－1)＝－f(1)．
又f(1)＝f(1－2)＝f(－1)，故f(1)＝－f(1)，得f(1)＝0，从而f(－1)＝－f(1)＝0.
综上，f(x)＝
(2)∵x∈(0,1)时，f(x)＝2x＋，
∴f′(x)＝2＋＞0，故f(x)在(0,1)上单调递增．
∴f (x)∈(0,3)．
∵f(x)是定义域为[－1,1]上的奇函数，
∴当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－3,3)．
∴f(x)的值域为(－3,3)．
11．(2013·舟山调研)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)方法一：要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，
等价于f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，
即f′(x)＝2x－≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．
故a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min＝16.
∴a的取值范围是(－∞，16]．
方法二：设2≤x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝x＋－x－
＝[x1x2(x1＋x2)－a]．
要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)＜0恒成立．
∵x1－x2＜0，x1x2＞0，即a＜x1x2(x1＋x2)恒成立，
又∵x1＋x2＞4，x1x2＞4，
∴x1x2(x1＋x2)＞16.
∴a的取值范围是(－∞，16]．
12．(2013·沈阳质检)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．
解析：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)
＝－(4－π)
＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：
f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．
又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示．
当－4≤x≤4时，f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．
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