2.4 二次函数与幂函数
一、选择题
1.已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：则不等式f(|x|)≤2的解集是( )．
x
1
f(x)
1
A．{x|－4≤x≤4}
B．{x|0≤x≤4}
C．{x|－≤x≤}
D．{x|0＜x≤}
解析 由题表知＝α，∴α＝，∴f(x)＝x.
∴(|x|)≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案 A
2．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点，则f(2)＝( )
A. B．4
C. D.
解析：设f(x)＝xα，因为图像过点，代入解析式得：α＝－，∴f(2)＝2－＝.
答案：C
3．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()的值为( )
A．－3 B．－
C．3 D.
解析：设f(x)＝xα，则由＝3，得＝3.
∴2α＝3，∴f()＝()α＝＝.
答案：D
4．若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为( )．
A．2 B. C. D．0
解析 由x≥0，y≥0
x＝1－2y≥0知0≤y≤
t＝2x＋3y2＝2－4y＋3y2＝32＋
在上递减，当y＝时，t取到最小值，tmin＝.
答案 B
5．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是( )
A．f(－2)＜f(0)＜f(2) B．f(0)＜f(－2)＜f(2)
C．f(0)＜f(2)＜f(－2) D．f(2)＜f(0)＜f(－2)
解析：∵f(1＋x)＝f(－x)，
∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c.
∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c.
∴2＋b＝－b，即b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋c，其图象的对称轴为x＝.
∴f(0)＜f(2)＜f(－2)．
答案：C
6．设y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.5，则( )．
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3
C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
解析 据y＝x在R上为增函数可得y1＝0.4＜y2＝0.5，又由指数函数y＝0.5x为减函数可得y2＝0.5＜y3＝0.5，故y1＜y2＜y3.
答案 B
7 .函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是( )．
A．{1,2} B．{1,4}
C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64}
解析 设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.
而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－对称．而选项D中≠.
答案 D
二、填空题
8．对于函数y＝x2，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．
其中正确的有________．
解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．
答案：①②⑤⑥
9．若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
解析 由已知条件当m＝0，或时，函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，解得0≤m≤.
答案
10．已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围是________．
解析：∵0<0.71.3<0.70＝1,1.30.7>1.30＝1，
∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m<(1.30.7)m，
∴幂函数y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，故m>0.
答案：(0，＋∞)
11．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．
解析 ∵∴m＝β＋.
∵β∈(1,2)且函数m＝β＋在(1,2)上是增函数，
∴1＋1＜m＜2＋，即m∈.
答案
12．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，由题意知即
解得0，求实数a的取值范围．
解析 不等式ax2－2x＋2>0等价于a>，
设g(x)＝，x∈(1,4)，则
g′(x)＝
＝＝，
当10，当2，
因此实数a的取值范围是.
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