巩固双基,提升能力
一、选择题
1．y＝x＋cosx的大致图像是( )
A.
B.
C.
D.
解析：当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝；当x＝－时，y＝－，观察各选项可知B正确．
答案：B
2．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
解析：如图所示，由图像可得两函数图像有两个交点，故方程有且仅有两个根．
答案：C
3．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a＜－1 B．|a|≤1
C．|a|＜1 D．a≥1
解析：如图所示，由图可知，当－1≤a≤1，即|a|≤1时不等式恒成立．
答案：B
4．给出四个函数，分别满足①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，②g(x＋y)＝g(x)·g(y)，③h(x·y)＝h(x)＋h(y)，④m(x·y)＝m(x)·m(y)．又给出四个函数的图像，那么正确的匹配方案可以是( )
甲
乙
丙
丁
A．①甲，②乙，③丙，④丁
B．①乙，②丙，③甲，④丁
C．①丙，②甲，③乙，④丁
D．①丁，②甲，③乙，④丙
解析：图像甲是一个指数函数的图像，它应满足②；图像乙是一个对数函数的图像，它应满足③；图像丁是y＝x的图像，满足①.
答案：D
5．已知f(x)＝则如图中函数的图像错误的是( )
y＝f(x－1)
A.
y＝f(－x)
B.
y＝f(|x|)
C.
y＝|f(x)|
D.
解析：因为f(x)＝
其图像如图，验证知f(x－1)，f(－x)，f(|x|)的图像均正确，只有|f(x)|的图像错误．
答案：D
6．(2013·烟台调研)f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
解析：x≤0时，f(x)＝2－x－1,0＜x≤1时，－1≤x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1，故x＞0时，f(x)是周期函数．如图：
欲使方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数解，即函数f(x)的图像与直线y＝x＋a有两个不同的交点，故a＜1.
答案：A
二、填空题
7．已知y＝f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3,1)是其图像上两个点，则不等式|f(x＋1)|＜1的解集是__________．
解析：|f(x＋1)|＜1?－1＜f(x＋1)＜1?f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，又y＝f(x)是R上的增函数，∴0＜x＋1＜3.
∴－1＜x＜2.
答案：{x|－1＜x＜2}
8．已知a＞0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，则实数a的取值范围是__________．
解析：由题知，当x∈(－1,1)时，f(x)＝x2－ax＜，即x2－＜ax.
在同一坐标系中分别作出二次函数y＝x2－，指数函数y＝ax的图像，如图，当x∈(－1,1)时，要使指数函数的图像均在二次函数图像的上方，需≤a≤2且a≠1.故实数a的取值范围是≤a＜1或1＜a≤2.
答案：∪(1,2]
9．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]的图像如下图所示：
则方程f[g(x)]＝0有且仅有__________个根，方程f[f(x)]＝0有且仅有__________个根．
解析：由图可知f(x)＝0有三个根，设为x1，x2，x3，－2＜x1＜－1，x2＝0,1＜x3＜2.
令g(x)＝x1，由g(x)图像可知方程g(x)＝x1有两个根，令g(x)＝0得两个根，令g(x)＝x3得两个根，∴f[g(x)]＝0有6个根，同理可看出f[f(x)]＝0有5个根．
答案：6 5
三、解答题
10．若方程2a＝|ax－1|(a＞0，a≠1)有两个实数解，求实数a的取值范围．
解析：当a＞1时，函数y＝|ax－1|的图像如图①所示，显然直线y＝2a与该图像只有一个交点，故a＞1不合适；当0＜a＜1时，函数y＝|ax－1|的图像如图②所示，要使直线y＝2a与该图像有两个交点，则0＜2a＜1，即0＜a＜.综上所述，实数a的取值范围为.
图①
图②
11．当x∈(1, 2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求a的取值范围．
解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1, 2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可．当0＜a＜1时，综合函数图像知显然不成立．
当a＞1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1＜a≤2.
∴a的取值范围是(1,2]．
12．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f (x)的图像关于直线x＝m对称；
(2)若函数y＝log2|ax－1|的图像的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．
解析：(1)设P(x0，y0)是y＝f(x)图像上任意一点，则y0＝f(x0)．
又P点关于x＝m的对称点为P′，则P′的坐标为(2m－x0，y0)．
由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.
即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图像上．
∴y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称．
(2)对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f (2＋x)恒成立．
∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．
又∵a≠0，∴2a－1＝0，得a＝.
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