课时提能演练(八)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.集合A＝{y∈R|y＝2x}，B＝{－1,0,1}，则下列结论正确的是( )
(A)A∩B＝{0,1} (B)A∪B＝(0，＋∞)
(C)(A)∪B＝(－∞，0) (D)(A)∩B＝{－1,0}
2. (2012·咸阳模拟)若函数f(x)＝(a＋)cosx是奇函数，则常数a的值等于( )
(A)－1 (B)1 (C)－ (D)
3.函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是( )
(A)(－1，＋∞) (B)(－∞，1)
(C)(－1,1) (D)(0,2)
4.(2012·合肥模拟)已知y＝f(x)的图像是顶点在原点的抛物线，且方程f(x)＝3－x有一个根x＝2，则不等式f(x)<()|x|的解集是( )
(A)(－2,2) (B)(－2,0)∪(0,2) (C)(0,2) (D)?
5.(预测题)若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围
是( )
(A)(2，＋∞) (B)(0，＋∞)
(C)(0,2) (D)(0,1)
6. (2012·西安模拟)设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )
(A)f()＜f()＜f() (B)f()＜f()＜f()
(C)f()＜f()＜f() (D)f()＜f()＜f()
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.64－(－)0＋log28＝ .
8.函数y＝ax－2 012＋2 012(a＞0，a≠1)的图像恒过定点 .
9.(2012·南昌模拟)已知关于x的方程4x－2x＋1＋3m－1＝0有实根，则m的取值范围是 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知对任意x∈R，不等式＞()恒成立，求实数m的取值范围.
11.(易错题)设函数f(x)＝kax－a－x(a＞0，a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)若f(1)＞0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)＞0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值.
【探究创新】
(16分)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对于任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)＝1＋a·()x＋()x；
(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
答案解析
1.【解析】选D.因为A＝{y∈R|y＝2x}＝(0，＋∞)，
∴A＝(－∞，0]，∴(A)∩B＝(－∞，0]∩{－1,0,1}＝{－1,0}.
2.【解析】选D.设g(x)＝a＋，t(x)＝cosx，
∵t(x)＝cosx为偶函数，而f(x)＝(a＋)cosx为奇函数，∴g(x)＝a＋为奇函数，
又∵g(－x)＝a＋＝a＋，
∴a＋＝－(a＋)对定义域内的一切实数都成立，解得：a＝.
3.【解析】选C.由于函数y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以有k－1＜0＜k＋1，解得－1＜k＜1.
4.【解题指南】根据条件作出函数f(x)和y＝()|x|的图像，数形结合求解.
【解析】选A.由已知y＝f(x)的图像是开口向上的抛物线且过点(2，)与(－2，)，在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝()|x|的图像，可知使f(x)< ()|x|的解集为(－2,2).
5.【解题指南】转化为两函数y＝与y＝2x－a的图像在(－∞，0)上有交点求解.
【解析】选C.在同一坐标系内分别作出函数y＝和y＝2x－a的图像知，当a∈(0,2)时符合要求.
6.【解析】选B.由已知条件可得f(x)＝f(2－x).
∴f()＝f()，f()＝f().
又x≥1时，f(x)＝3x－1在(1，＋∞)上递增，
∴f()＞f()＞f().
即f()＞f()＞f().
【方法技巧】具有对称性、奇偶性、周期性函数的函数值大小比较的常用方法
(1)单调性法：先利用相关性质，将待比较函数值调节到同一单调区间内，然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小.
(2)图像法：先利用相关性质作出函数的图像，再结合图像比较大小.
7.【解析】原式＝(43)－1＋log223＝4－1＋3＝6.
答案：6
8.【解析】∵y＝ax(a＞0，a≠1)的图像恒过定点(0,1)，
∴y＝ax－2 012＋2 012恒过定点(2 012,2 013).
答案：(2 012,2 013)
9.【解析】由已知得：3m＝－(2x)2＋2·2x＋1＝－(2x－1)2＋2.
又2x>0，∴－(2x－1)2＋2≤2，即3m≤2，解得m≤.
答案：m≤
10.【解析】由题知：不等式()＞()对x∈R恒成立，
∴x2＋x＜2x2－mx＋m＋4对x∈R恒成立.
∴x2－(m＋1)x＋m＋4＞0对x∈R恒成立.
∴Δ＝(m＋1)2－4(m＋4)＜0，
∴m2－2m－15＜0.∴－3＜m＜5.
11.【解析】∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1，即f(x)＝ax－a－x.
(1)∵f(1)＞0，∴a－＞0，又a＞0且a≠1，
∴a＞1，
而当a＞1时，y＝ax和y＝－a－x在R上均为增函数，
∴f(x)在R上为增函数，
原不等式化为：f(x2＋2x)＞f(4－x)，
∴x2＋2x＞4－x，即x2＋3x－4＞0，
∴x＜－4或x＞1，
∴不等式的解集为{x|x＜－4或x＞1}.
(2)∵f(1)＝，∴a－＝，
即2a2－3a－2＝0，∴a＝2或a＝－(舍去)，
∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2，令t＝h(x)＝2x－
2－x(x≥1)，
则t＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数，
即h(x)≥h(1)＝.
设g(x)＝p(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，
∴当t＝2时，g(x)min＝－2，此时x＝log2(1＋)，
当x＝log2(1＋)时，g(x)有最小值－2.
【误区警示】本题(2)中易由于想不到换元转化为二次函数而无法进行下去，根本原因是对于较复杂的函数式化繁为简，化陌生为熟悉训练不到位.
【探究创新】
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝1＋()x＋＝[()x＋]2＋，
∵f(x)在(－∞，0)上递减，
所以在(－∞，0)上，f(x)＞f(0)＝3，
即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，
故不存在常数M＞0，使|f(x)|≤M成立，
∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数.
(2)由题意知|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立，
即－3≤f(x)≤3，－4－()x≤a·()x≤2－()x，
∴－4·2x－()x≤a≤2·2x－()x在[0，＋∞)上恒成立，
∴[－4·2x－()x]max≤a≤[2·2x－()x]min.
设2x＝t，h(t)＝－4t－，p(t)＝2t－，
由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t1＜t2，
h(t1)－h(t2)＝＞0，
p(t1)－p(t2)＝＜0，
所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5,1].
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