2.6 对数与对数函数
一、选择题
1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．
A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋)
C．y＝2x＋2－x D．y＝lg
解析 依次根据函数奇偶性定义判断知，A，C选项对应函数为偶函数，B选项对应函数为奇函数，只有D选项对应函数定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．
答案 D
2．已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．b1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故c3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．
答案 C
7.若函数f(x)＝loga(x＋b)的图像如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图像是( )
解析：由f(x)＝loga(x＋b)的图像可知01?x＋1>0，
∴－10时，log2x>1?x>2，∴x>2.
综上所述：－12.
答案：－12
三、解答题
13．求值＋lg.
解析：原式＝
＝
＝
＝[2＋(－1)]＝.
14．已知函数 f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数
(1)求k的值；
(2)设g(x)＝log4(a·2x－a)，若函数 f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
解析：(1)∵函数 f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数
∴ f(－x)＝log4(4－x＋1)－kx＝log4()－kx＝log4(4x＋1)－(k＋1)x＝log4(4x＋1)＋kx恒成立
∴－(k＋1)＝k，则k＝－
(2)g(x)＝log4(a·2x－a)，
函数 f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程 f(x)＝g(x)只有一个解
由已知得log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)
∴log4＝log4(a·2x－a)
方程等价于
设2x＝t(t>0)，则(a－1)t2－at－1＝0有一解
若a－1>0，设h(x)＝(a－1)t2－at－1，∵h(0)＝－1<0，∴恰好有一正解
∴a>1满足题意
若a－1＝0，即a＝1时，不满足题意
若a－1<0，即a<1时，由△＝(－a)2＋4(a－1)＝0，得a＝－3或a＝
当a＝－3时，t＝满足题意
当a＝时，t＝－2(舍去)
综上所述实数a的取值范围是{a|a>1或a＝－3}．
15．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．
解析 y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2＞0，
解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}，
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.
令2x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2.
∴f(t)＝4t－3t2＝－32＋(t＞8或0＜t＜2)．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f(t)∈，
当t＞8时，f(t)∈(－∞，－160)，
当2x＝t＝，即x＝log2 时，f(x)max＝.
综上可知：当x＝log2 时，f(x)取到最大值为，无最小值．
16．已知函数f(x)＝loga(a＞0，b＞0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性；
解析 (1)令＞0，
解得f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b，＋∞)．
(2)因f(－x)＝loga＝loga－1
＝－loga＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(3)令u(x)＝，则函数u(x)＝1＋在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数，所以当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是增函数；当a＞1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数．
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