巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2013·日照联考)设函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x)，若g＝，则a等于( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析：因为函数f(x)＝log2x的反函数为y＝2x，
所以g(x)＝2x，由g＝，得2＝.
所以＝－2，a＝.
答案：C
2．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )
A. B.
C．2 D．4
解析：由题可知函数f(x)＝ax＋logax在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2.
答案：C
3．若0＜a＜1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则( )
A．x＞y＞z B．z＞y＞x
C．y＞x＞z D．z＞x＞y
解析：x＝loga，y＝loga，z＝loga.
因为0＜a＜1，所以y＝logax在(0，＋∞)上是减函数．
又＞＞，故y＞x＞z.选C.
答案：C
4．已知lga＋lgb＝0(a＞0，b＞0且a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图像可能是( )
A． B.
C． D.
解析：由lga＋lgb＝0(a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1)，得ab＝1.
若a＞1，则0＜b＜1，而y＝－logbx的图像与y＝logbx的图像关于x轴对称，故选B.
答案：B
5．已知函数f(x)＝x－log2x，实数a，b，c满足f(a)·f(b)·f(c)＜0(0＜a＜b＜c)，若实数x0为方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )
A．x0＜a B．x0＞b
C．x0＜c D．x0＞c
解析：易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数．由0＜a＜b＜c，知f(a)＞f(b)＞f(c)．
又f(a)·f(b)·f(c)＜0，故f(c)＜0，从而f(a)·f(b)＞0.
又f(x)的图像在(0，＋∞)上是一条连续不断的曲线，故x0＞c不可能成立．选D.
答案：D
6．已知函数f(x)＝log2(a－2x)＋x－2，若f(x)＝0有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．[4，＋∞)
解析：方法一：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得a－2x＝22－x，即a－2x＝，令t＝2x(t＞0)，则t2－at＋4＝0在t∈(0，＋∞)上有解，令g(t)＝t2－at＋4，g(0)＝4＞0，故满足得a≥4.
方法二：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得a－2x＝22－x，a＝2x＋≥4.
答案：D
二、填空题
7．(2013·金华联考)已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋a2)的图像关于x＝2对称，则a的值为__________．
解析：由题意f(x)＝f(4－x)，∴x2－ax＋a2＝(4－x)2－a(4－x)＋a2，整理得a＝4.
答案：4
8．(2013·杭州月考)设f(x)＝＋＋，则f(x)＋f＝__________.
解析：f(x)＋f＝＋＝3.
答案：3
9．(2013·湖南联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＋f(x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(log125)＝__________.
解析：f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＋f(x)＝0，f(log125)＝f(－log25)＝－f(log25)＝f(log25－2)＝2log25－2－1＝－1＝.
答案：
三、解答题
10．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．
(1)求f(log2x)的最小值及相应的x值；
(2)x取何值时，f(log2x)＞f(1)，且log2f(x)＜f(1)．
解析：(1)∵f(x)＝x2－x＋b.
∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b，
由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，
∴log2a(log2a－1)＝0.
∵a≠1，∴log2a＝1.
∴a＝2.
又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.
∴a2－a＋b＝4.
∴b＝4－a2＋a＝2.
故f(x)＝x2－x＋2.
从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2
＝2＋.
∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值.
(2)由题意，?
?0＜x＜1.
11．已知f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)问是否存在实数a、b，当x∈(1，＋∞)时，f(x)的值域为(0，＋∞)，且f(2)＝lg2？若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由．
解析：(1)由ax－bx＞0及a＞1＞b＞0，得x＞1，故x＞0.
所以，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)令g(x)＝ax－bx，由a＞1＞b＞0知，g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
当x∈(1，＋∞)时，f(x)取到一切正数等价于x∈(1，＋∞)时，g(x)＞1.
故g(1)＝1，得a－b＝1.①
又f(2)＝lg2，故a2－b2＝2.②
由①②解得a＝，b＝.
12．(2013·辽宁测试)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且仅有一个根，求实数a的取值范围．
解析：(1)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，
∴log4－log4(4x＋1)＝2kx，
∴ (2k＋1)x＝0，∴k＝－.
(2)依题意知：log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)． (*)
∴
令t＝2x，则(*)变为(1－a)t2＋at＋1＝0只需其有一正根．
①a＝1，t＝－1不合题意；
②(*)式有一正一负根，∴经验证满足a·2x－a＞0，∴a＞1.
③(*)式有两相等的根，Δ＝0，∴a＝±2－2，又a·2x－a＞0，∴a＝－2－2，
综上所述可知a的取值范围为{a|a＞1或a＝－2－2}．
【点此下载】