2.7 函数的图像
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有( )．
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
解析 (数形结合法)画出两个函数图象可看出交点有10个．
答案 A
【点评】 本题采用了数形结合法.数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.
2．函数y＝|x|与y＝在同一坐标系上的图像为( )
解析：因为|x|≤，所以函数y＝|x|的图像在函数y＝图像的下方，排除C、D，当x→＋∞时，→|x|，排除B，故选A.
答案：A
3．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )．
A．2 B．4 C．6 D．8
解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．
如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.
答案 D
4．y＝x＋cos x的大致图象是( )
解析：当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝；当x＝－时，y＝－，观察各选项可知B正确．
答案：B
5．由方程x|x|＋y|y|＝1确定的函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是( )．
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
解析 ①当x≥0且y≥0时，x2＋y2＝1，②当x>0且y<0时，x2－y2＝1，
③当x<0且y>0时，y2－x2＝1，
④当x<0且y<0时，无意义．
由以上讨论作图如上图，易知是减函数．
答案 B
6．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )．
解析 当a＞1或0＜a＜1时，排除C；当0＜a＜1时，再排除B；当a＞1时，排除A.
答案 D
7．给出四个函数，分别满足①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
②g(x＋y)＝g(x)·g(y)，③h(x·y)＝h(x)＋h(y)，
④m(x·y)＝m(x)·m(y)．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )
A．①甲，②乙，③丙，④丁 B．①乙，②丙，③甲，④丁
C．①丙，②甲，③乙，④丁 D．①丁，②甲，③乙，④丙
解析：图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y＝x的图象，满足①.
答案：D
二、填空题
8. 如图，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于________．
解析：由图像知f(3)＝1，
∴＝1.∴f＝f(1)＝2.
答案：2
9．已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0＜x1＜x2＜1的任意x1、x2，给出下列结论：
①f(x2)－f(x1)＞x2－x1；
②x2f(x1)＞x1f(x2)；
③＜f.
其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．
解析 由f(x2)－f(x1)＞x2－x1，可得＞1，即两点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))连线的斜率大于1，显然①不正确，由x2f(x1)＞x1f(x2)得＞，即表示两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．
答案 ②③
10．已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是________．
解析：由题知，当x∈(－1,1)时，f(x)＝x2－ax<，即x2－1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，
只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，
∴1＜a≤2.
∴a的取值范围是(1,2]
16．已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．
(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时的f(x)的表达式．
解析 (1)证明 设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，
则y0＝f(x0)，
点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．
因为f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]＝f[2－(2－x0)]＝
f(x0)＝y0，
所以P′也在y＝f(x)的图象上，
所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．
(2) 当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
所以f(－x)＝－2x－1.
又因为f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x )＝－2x－1，x∈[－2,0]．
当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，
所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7，
而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．
所以f(x)＝
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