巩固双基,提升能力
一、选择题
1．函数y＝x的图像是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由幂函数的性质知：①图像过(1,1)点，可排除A、D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C，从而选B.
答案：B
2．已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点，则f(4)的值为( )
A．16 B. C. D．2
解析：由已知，得＝2α，即2α＝2，∴α＝－.
∴f(x)＝x.
∴f(4)＝4＝.
答案：C
3．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]．若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：f(x)＝－x2＋4x＋a在x∈[0,1]上的最小值为f(0)＝a，故a＝－2.
∴f(x)＝－x2＋4x－2，它在[0,1]上的最大值为f(1)＝－12＋4×1－2＝1，选C.
答案：C
4．设f(x)＝|2－x2|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是( )
A．(0,2) B．(0,2]
C．(0,4] D．(0，]
解析：∵f(x)＝|2－x2|且f(a)＝f(b)，
∴|2－a2|＝|2－b2|.
由f(x)＝|2－x2|的图像可知2－a2＝b2－2.
∴a2＋b2＝4＞2ab.∴ab＜2.
又∵ab＞0，∴ab∈(0,2)．
答案：A
5．(2013·江南十校联考)已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：函数f(x)＝的图像如图．
知f(x)在R上为增函数．
故f(2－a2)＞f(a)，即2－a2＞a.
解得－2＜a＜1.
答案：C
6．(2013·江西师大附中月考)方程mx2－(m－1) x＋1＝0在区间(0,1)内有两个不同的实数根，则m的取值范围为( )
A．m＞1
B．m＞3＋2
C．m＞3＋2或0＜m＜3－
D．3－2＜m＜1
解析：令f(x)＝mx2－(m－1)x＋1，
则f(x)的图像恒过定点(0,1)，
由题意可得
解得m＞3＋2.选B.
答案：B
二、填空题
7．(2013·临沂质检)当α∈{－1，，1,3}时，幂函数y＝xα的图像不可能经过__________象限．
解析：当x＞0时，y＞0，故不过第四象限；
当x＜0时，y＜0或无意义．故不过第二象限．
综上，不过第二、第四象限．也可画图观察.
答案：第二、第四
8．(2013·泰安调研)已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m的取值范围是__________．
解析：∵0＜0.71.3＜0.70＝1,1.30.7＞1.30＝1，
∴0.71.3＜1.30.7.而(0.71.3)m＜(1.30.7)m，
∴幂函数y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，故m＞0.
答案：(0，＋∞)
9．若定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x)＝4(x－1)被f(x)的图像截得的线段长为4，则函数f(x)的解析式为__________．
解析：设f(x)＝a(x－1)2(a＞0)．
由得ax2－(4＋2a)x＋a＋4＝0.
由韦达定理，得x1＋x2＝，x1·x2＝.
由弦长公式，得
4＝ .
∴a＝1.∴f(x)＝(x－1)2.
答案：f(x)＝(x－1)2
三、解答题
10．已知f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数.
解析：(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝2－，
∴当x＝时，f (x)min＝－；
当x＝－1时，f(x)max＝.
(2)由于函数的对称轴是x＝－tanθ，要使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，必须且只需－tanθ≤－1或－tanθ≥，即tanθ≥1或tanθ≤－，
故θ∈∪.
11．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)＞0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)＜0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．
解析：由题意，得x＝－3和x＝2是函数f(x)的零点，且a＜0，则
解得
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(1)由图像知，函数在[0,1]内单调递减，
∴当x＝0时，y＝18；
当x＝1时，y＝12.
∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．
(2)令g(x)＝－3x2＋5x＋c.
∵g (x)在上单调递减，要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立，则需要g(1)≤0.
即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.
∴当c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．
12．(2013·宝鸡月考)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]恒成立，求b的取值范围．
解析：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1.
解得a＝1，b＝2.
∴f(x)＝(x＋1)2，∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0,1]恒成立，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
所以－2≤b≤0.
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