2.8 函数与方程
一、选择题
1．“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a<－2时，函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上单调递减，此时f(－1)＝3－a>0，f(2)＝3＋2a<0，所以函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0；当函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0时，
有f(－1)f(2)<0，即2a2－3a－9>0，
解得a>3或a<－.
答案：A
2．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
解析：能用二分法求零点的函数必须在含零点的区间(a，b)内连续，并且有f(a)·f(b)＜0.A、B、D中函数不符合．
答案：C
3.函数f(x)=-+log2x的一个零点落在下列哪个区间( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
解析∵f(1)=-1+log21=-1<0,
f(2)=-+log22=>0,
∴f(1)·f(2)<0,故选B.
答案：B
4. 若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是
( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由题意知，一元二次方程 x2＋mx＋1＝0有两不等实根，可得Δ>0，即m2－4>0，解得m>2或m<－2.
答案：C
5．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )．
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析 f(x)＝2x＋3x在R上为增函数，且f(－1)＝2－1－3＝－，f(0)＝1，则f(x)＝2x＋3x在(－1,0)上有唯一的一个零点．
答案 B
6．方程x2＋x－1＝0的解可视为函数y＝x＋的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，若x4＋ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是( )．
A．R B．?
C．(－6,6) D．(－∞，－6)∪(6，＋∞)
解析 (转化法)方程的根显然x≠0，原方程等价于x3＋a＝，原方程的实根是曲线y＝x3＋a与曲线y＝的交点的横坐标；而曲线y＝x3＋a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．
若交点(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，
因直线y＝x与y＝交点为：(－2，－2)，(2,2)；
所以结合图象可得：或
?a∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)；选D.
答案 D
【点评】 转化法能够在一定程度上简化解题过程.
7．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述正确的是( )．
A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点
B．函数f(x)必有一个零点是正数
C．当a＜0时，函数f(x)有两个零点
D．当a＞0时，函数f(x)只有一个零点
解析 f(x)＝0?ex＝a＋
在同一坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，
可观察出A、C、D选项错误，选项B正确．
答案 B
二、填空题
8．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算________．
解析：∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．
答案：(0,0.5) f(0.25)
9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的图象的交点有3个，∴00)．
(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解析：(1)法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e，
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，
因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．
法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图：
可知若使g(x)＝m有零点，
则只需m≥2e.
法三：由g(x)＝m得
x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，
故等价于，
故m≥2e.
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1
＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2>2e，
即m>－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)
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